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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
高考真題備選題庫(kù)
第3章 三角函數(shù)、解三角形
第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
考點(diǎn) 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用
1.(2013江蘇,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=.
(1)求
2、索道AB的長(zhǎng);
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
解:本題考查正弦、余弦定理,二次函數(shù)的最值,兩角和的正弦公式,不等式的解法,意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
(1)在△ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=,所以
sin A=,sin C=.
從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
由正弦定理=,得AB=×sin C=×=1 040(m).
所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.
3、
(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,故當(dāng)t=(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短.
(3)由正弦定理=,得BC=×sin A=×=500(m).
乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.
設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 min,乙
4、步行的速度應(yīng)控制在,(單位:m/min)范圍內(nèi).
2.(2010福建,12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說(shuō)明理由.
解:法一:(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S
5、海里,則
S==
= .
故當(dāng)t=時(shí),Smin=10,此時(shí)v==30.
即,小艇以30海里/小時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.則
v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),故v2=900-+.
∵0
6、距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向?yàn)檎狈较颍?
設(shè)小艇與輪船在C處相遇.在Rt△OAC中,OC=20cos 30°=10,AC=20sin 30°=10.
又AC=30t,OC=vt.
此時(shí),輪船航行時(shí)間t==,v==30.
即,小艇以30海里/小時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?
(2)猜想v=30時(shí),小艇能以最短時(shí)間與輪船在D處相遇,此時(shí)AD=DO=30t.
又∠OAD=60°,所以AD=DO=OA=20,解得t=.
據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下:
航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度的大小為30海里/小時(shí),這樣,小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
證明如下:
如
7、圖,由(1)得OC=10,AC=10;故OC>AC,且對(duì)于線段AC上任意點(diǎn)P,有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí),故小艇與輪船不可能在A,C之間(包含C)的任意位置相遇.
設(shè)∠COD=θ(0°<θ<90°),則在Rt△COD中,CD=10tan θ,OD=.
由于從出發(fā)到相遇,輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為
t=和t=,
所以,=.
由此可得,v=.
又v≤30,故sin(θ+30°)≥.
從而,30°≤θ<90°.
由于θ=30°時(shí),tanθ取得最小值,且最小值為.
于是,當(dāng)θ=30°時(shí),t=取得最小值,且最小值為.
法三:(1)同法一或法二.
8、
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.依據(jù)題意得:
v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
(v2-900)t2+600t-400=0.
(ⅰ)若0.
(ⅱ)若v=30,則t=;
綜合(ⅰ)、(ⅱ)可知,當(dāng)v=30時(shí),t取最小值,且最小值等于.
此時(shí),在△OAB中,OA=OB=AB=20,故可設(shè)計(jì)航行方案如下:
航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里/小時(shí),小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.