2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 理.doc
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第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點一 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系 1.三角函數(shù)的定義 若角α的終邊過點P(x,y),則sinα=,cosα=,tanα=(其中r=). 2.誘導(dǎo)公式 (1)sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z),tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z). (2)sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)==tanα. (3)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. (5)sin=cosα,cos=sinα, sin=cosα,cos=-sinα. 3.基本關(guān)系 sin2x+cos2x=1,tanx=. [對點訓(xùn)練] 1.(2018山東壽光一模)若角α的終邊過點A(2,1),則 sin=( ) A.- B.- C. D. [解析] 根據(jù)三角函數(shù)的定義可知cosα==,則sin=-cosα=-,故選A. [答案] A 2.已知sin=,則cos=( ) A.- B. C. D.- [解析] cos=cos =sin=sin =-sin=-sin=-. [答案] A 3.已知P(sin40,-cos140)為銳角α終邊上的點,則α=( ) A.40 B.50 C.70 D.80 [解析] ∵P(sin40,-cos140)為角α終邊上的點,因而tanα====tan50,又α為銳角,則α=50,故選B. [答案] B 4.(2018福建泉州質(zhì)檢)已知θ為第四象限角,sinθ+3cosθ=1,則tanθ=________. [解析] 由(sinθ+3cosθ)2=1=sin2θ+cos2θ,得6sinθcosθ=-8cos2θ,又因為θ為第四象限角,所以cosθ≠0,所以6sinθ=-8cosθ,所以tanθ=-. [答案]?。? [快速審題] (1)看到終邊上點的坐標,想到三角函數(shù)的定義. (2)看到三角函數(shù)求值,想到誘導(dǎo)公式及切弦互化. 誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用策略 (1)已知角求值問題,關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解.轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變,符號看象限”的應(yīng)用. (2)對給定的式子進行化簡或求值時,要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系,充分利用給定的式子,結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進行轉(zhuǎn)化. 考點二 三角函數(shù)的圖象與解析式 1.“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點、連線可得. 2.兩種圖象變換 [解析] (1)∵f(x)=cos=sin=sin,∴只需將函數(shù)g(x)=sin的圖象向左平移個單位長度即可得到f(x)的圖象.故選C. (2)由=π-π=,得T=π, 又知T=,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ). 又知f=-2,∴2sin=-2, 即sin=-1.∴π+φ=2kπ+π(k∈Z). ∴φ=2kπ-(k∈Z),又∵-<φ<0,∴φ=-. [答案] (1)C (2)- 解決三角函數(shù)圖象問題的策略 (1)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置. (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換,變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. [對點訓(xùn)練] 1.[原創(chuàng)題]將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上每一點的橫坐標先伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度得到y(tǒng)=sinx的圖象,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z [解析] 解法一:將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),則函數(shù)變?yōu)閥=sin,再向左平移個單位長度得到的函數(shù)為y=sin=sin=sinx,又ω>0,所以又-≤φ<,所以ω=2,φ=-,所以f(x)=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故選C. 解法二:將y=sinx的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)為y=sin,將函數(shù)y=sin的圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),則函數(shù)變?yōu)閥=sin=f(x),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故選C. [答案] C 2.(2018湖北七市(州)3月聯(lián)考)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈,x1≠x2且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=( ) A.1 B. C. D. [解析] 由題圖知A=1,函數(shù)f(x)的最小正周期T=2=π,所以=π,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又因為點在圖象的上升段上,所以-+φ=2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin,可知在上,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=對稱,因為x1,x2∈,f(x1)=f(x2),所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=f=sin=.故選D. [答案] D 考點三 三角函數(shù)的性質(zhì) 1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z); y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); y=tanx的遞增區(qū)間是(k∈Z). 2.三角函數(shù)的奇偶性與對稱性 y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù). 角度1:研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 [解析] ∵f(x)的最小正周期為π,∴=π,ω=2, ∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)=sin=sin的圖象,又g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,∴-+φ=kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴<,∴k=-1,φ=-,∴f(x)=sin,當(dāng)x=時,2x-=-, ∴A、C錯誤,當(dāng)x=時,2x-=,∴B正確,D錯誤. [答案] B [探究追問] 在本例中條件不變,若將“圖象關(guān)于原點對稱”改為“圖象關(guān)于y軸對稱”,則f(x)的圖象對稱性是怎樣的? [解析] g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,則-+φ=+kπ,k∈Z,可求φ=,∴f(x)=sin,2x+=kπ,k∈Z,可得x=-,k∈Z,令k=1,則x=,故選D. [答案] D 角度2:求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值 [解] (1)f(x)=2cosωxsinωx+sin2ωx-cos2ωx =sin2ωx-cos2ωx=2sin. 由f(x)圖象的一個對稱中心,到最近的對稱軸的距離為,知=,即ω=1.所以f(x)=2sin, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z. 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)因為0≤x≤,所以-≤2x-≤, 所以-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2. 即函數(shù)f(x)的值域為[-1,2]. 三角函數(shù)性質(zhì)問題的解題策略 (1)討論三角函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性,都必須首先利用輔助角公式,將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù). (2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間,是將ωx+φ作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間),求出的區(qū)間即為y=Asin(ωx+φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間),但是當(dāng)A>0,ω<0時,需先利用誘導(dǎo)公式變形為y=-Asin(-ωx-φ),則y=-Asin(-ωx-φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間,減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間. (3)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某一區(qū)間的最值時,將ωx+φ視為整體,借助正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解. [對點訓(xùn)練] 1.[角度1](2018內(nèi)蒙古赤峰二中三模)已知函數(shù)f(x)=2sin-1,則下列結(jié)論中錯誤的是( ) A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 C.f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) D.函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)=2sin2x-1的圖象向右平移個單位長度得到 [解析] 對于函數(shù)f(x)=2sin-1,由于它的最小正周期為π,故A項正確;當(dāng)x=時,f(x)=2sin-1=1,函數(shù)取得最大值,故f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,故B項正確;當(dāng)x在區(qū)間上時,2x-∈,故f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),故C項正確;由于把g(x)=2sin2x-1的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)=2sin2-1=2sin-1的圖象,故D項錯誤.故選D. [答案] D 2.[角度2](2018河南濮陽一模)先將函數(shù)f(x)=sinx的圖象上的各點向左平移個單位,再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中ω∈N*),得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的最大值為________. [解析] 由題意易知g(x)=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以有k∈Z,即12k-4≤ω≤8k+,k∈Z. 由12k-4≤8k+可得k≤,當(dāng)k=1時,ω∈,所以正整數(shù)ω的最大值為9. [答案] 9 1.(2018天津卷)將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( ) A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減 [解析] 將y=sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=sin=sin2x,令2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以y=sin2x的遞增區(qū)間為(k∈Z),當(dāng)k=1時,y=sin2x在上單調(diào)遞增,故選A. [答案] A 2.(2018全國卷Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是( ) A. B. C. D.π [解析] f(x)=cosx-sinx=cos, 由題意得a>0,故-a+<, 因為f(x)=cos在[-a,a]是減函數(shù),所以解得0f(π),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) [解析] 因為f(x)≤對x∈R恒成立,即==1,所以φ=kπ+(k∈Z).因為f>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),即sinφ<0,所以φ=-π+2kπ(k∈Z),所以f(x)=sin,所以由三角函數(shù)的單調(diào)性知2x-∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),故選C. [答案] C 專題跟蹤訓(xùn)練(十四) 一、選擇題 1.若sin=-,且α∈,則sin(π-2α)=( ) A. B. C.- D.- [解析] 由sin=cosα=-,且α∈,得sinα=,所以sin(π-2α)=sin2α=2sinαcosα=-,故選D. [答案] D 2.(2018福州質(zhì)量檢測)若將函數(shù)y=3cos的圖象向右平移個單位長度,則平移后圖象的一個對稱中心是( ) A. B. C. D. [解析] 將函數(shù)y=3cos的圖象向右平移個單位長度,得y=3cos=3cos的圖象,由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),當(dāng)k=0時,x=,所以平移后圖象的一個對稱中心是,故選A. [答案] A 3.(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知tanα=-,則sinα(sinα-cosα)=( ) A. B. C. D. [解析] sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα==,將tanα=-代入,得原式==,故選A. [答案] A 4.(2018太原模擬試題)已知函數(shù)f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)在(0,π)上有且只有兩個零點,則實數(shù)ω的取值范圍為( ) A. B. C. D. [解析] f(x)=2sin,設(shè)t=ωx-,因為0- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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