必修4《第二章平面向量》章末測試卷含解析

第二章章末測試時間：90分鐘分值：100分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.下列命題正確的是()a.向量aB與BA是相等向量B.共線的單位向量是相等向量C.零向量與任一向量共線D.兩平行向量所在直線平行答案：C解析：利用向量的概念進行判定.2 .向量a,b反向，下列等式成立的是()A. |a-b|=|a|-|b|B. |a+b|=|a|+|b|C. |a|+|b|=|a-b|D. |a+b|=|a-b|答案：C解析：當a,b反向時，由向量加法或減法的幾何意義可知，|ab|=|a|十|b|.3 .以a=(1,2),b=(1,1)為基底表示c=(3,2)為()A.c=4a+bB.c=a+4bC.c=4bD.c=a-4b答案：B解析：設c=xa+yb,則(3,2)=x(1,2)+y(1,-1)=(-x+y2x-y),所以x+y=3且2xy=2,解得x=1,y=4.所以c=a+4b.4 .已知平面內(nèi)三點A(1,0)、B(5,6)、P(3,4),則AP-BP等于()A.0B.-16C.16D.8答案：B解析：AP=(4,4),EBP=(-2,2),所以APBP=16.£22A.22B.5.向量a=(-1,1)在向量b=(3,4)上的射影為(D.C答案:C.解析：由ab=|a|b|cos。,得|a|cos。=a|b|b=1X3+1X41V32+425.,.3一。一6 .已知a=(3,2),b=(_v3,cosa),a/b且0Va<180，則a等于(A.30°B.60°C.120°D,150°答案：C31一一一。斛析：.a/b,3COSa=2，.COSa=2，又0Va兀，a=120.7 .給定兩個向量a=(2,1),b=(-3,4),若(a+xb)±(a-b),則x等于()13A. 2713B. 2CW答案:解析:7D.27Da+xb=(2,1)+(3x,4x)=(23x,1+4x),ab=(2,1)(3,4)=(5,-3),-.(a+xb)±(a-b),(2-3x)-5+(1+4x)-(-3)=0,-x=27.,，一.58 .已知向量a=(1,2),b=(-2,4),|c|=45,若(a+b)c=,則a與c的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°答案：C5解析：由條件知同=服|b|=2#,a+b=(-1,-2),z.|a+b|=5,v(a+b)c=|,/.x55/5-cos0=2，其中。為a+b與c的夾角，0=60，=a+b=a,，a+b與a萬向相反，a與c的夾角為120°.9.在邊長為1的正方形ABCD中，設AB=a,BC=b,AC=c,則|ab+c|等于()3A.1B.25C.2D.2答案：C解析：先求模的平方.10.將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點，它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一個正六角星，如圖所示的正六角星是以原點。為中心，其中漱，y,分別為原點O到兩個頂點的向量.若將原點。到正六角星12個頂點的向量，都寫成為a.+by的形式，則a+b的最大值為()A.2B.3C.4D.5答案：D解析：要求a+b的最大值，只需考慮右圖中6個頂點的向量即可，討論如下：(1) .OA=女，(a,b)=(1,0);(2) .OB=OF+FB=y+3%,.(a,b)=(3,1);7,(3) .OC=OF+FC=y+24(a,b)=(1,2);f->，一、一一，.、，_、(4) OD=OF+FE+ED=y+-X+OC=y+-X+(y+2-x)=2y+3"X,'"(a,b)=(3,2);7,(5) ,.OE=OF+FE=y+(a,b)=(1,1);(6) .Of=,(a,b)=(0,1).,a+b的最大值為3+2=5.二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.把答案填入題中橫線上.11 .已知向量a,b滿足|a|=2011,|b|=4,且2-b=4022,則a與b的夾角為»一兀答案：Q3解析：設a與b的夾角為0,由夾角余弦公式cosQ=0b=4022=2,解得0=4|a|b|2011X42312 .已知向量a=(1,t),b=(-1,t).2ab與b垂直，則|a|=.答案：2解析：由(2a-b)b=0,可得t=±5所以|a|=J?不一2=2.ti a c13 .如右圖，在ABC中，/BAC=135°,AB=a/2,AC=1,D是邊BC上一點，DC=2BD,貝UAD-BC=.4答案：3解析：根據(jù)向量的加減法法則有：Bc=>ac-Ab,ad=Ab+bd=>ab+1(;ac-Ab)=3>ac+|>ab,此時AD-Bc=(：3>ac+|>ab)(ac-Ab)=|>ac|2+73ac-AB_|aB|21 1x1xTlx出2x2=433"233.三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第1518小題各10分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.14 .已知點A、B、C的坐標分別為A(V6,2)、B(0,3)、C(岑，sin”)，aC(-|,旦注).若aB|=|BC|,求角a的值.-3)解：(加，1),BC=(gsina|AB|=V7,|BC|=A/1Isina-321由|BC|=|AB|得sina=1.又 a e cf，3|5, a5 716 .15 .已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是150°,計算:(1)(a+2b)(2ab);(2)|4a-2b|.解：(1)(a+2b)-(2a-b)=2a2+3ab-2b1=2|a|2+3|a|-|b|-cos150°-2|b|23=242+348-(-1|)-282=-9648十.2(2)|4a-2b|=q4a2b=16a2-16a-b+4b2=16|a|216|a|b|cos150°+4|b|2=1642-1648十482=8(p啊16.已知向量a與b的夾角為3兀，|a|=2,|b|=3,iEm=3a-2b,n=2a+kb.(1)若m,n,求實數(shù)k的值；(2)是否存在實數(shù)k,使得m/n?說明理由.解：(1)由m±n得mn=0,即(3a2b)-(2a+kb)=0,整理得：6|a|2-(4-3k)ab-2k|b|2=0,27k=36,k=-,.當k='時，m_Ln.3 3(2)若存在實數(shù)k,使m/n,則有m=入n,即3a2b=入(2a+kb),.(32入)a=(2+k入)b.33-2入=0,入=2，由題意可知向量a與b不共線，？|2+k入=0,4lk=a，即存在實數(shù)k=4,使得m/n.317 .如圖所示，現(xiàn)有一小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游l=80m的L處河流變成“飛流直下三千尺”的瀑布.若河水流速的方向為上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s,為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？解：船速最小時，船應在到達瀑布的那一刻到達對岸，如圖所示，船的臨界合速度應沿PQ方向.設PA=v水，從A向PQ作垂線，垂足為B,有向線段AB即表示最小劃速的大小和方向.d _|v 劃|min=|v 水|sin 0 = |v 水|. f =5X60寸602+80r = 5x 0.6=3(m/s),所以劃速最小為 3m/s.18 .已知點A(1,2),B(2,1),C(3,2).已知點d(2,3),以aB、AC為一組基底來表示AD+Bb+Cb；(2)若AP=AB+入AC(入CR),且點P在第四象限，求入的取值范圍.解：如圖，.AB，AC,ABAC=o.AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,bP,cQ=(ap-aB).(aqaC)一YY-=AP-AQ-AP-ACABAQ+AB-AC=-a2AP-AC+AB-AP=-a2+AP-(AB-AC)=-a2+pQ-BC22=a+acos0.故當cos9=1,即0=0（由與能方向相同）時，BPCd最大，其最大值為0.