（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第10練 三角恒等變換與解三角形精準提分練習 文.docx
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第10練 三角恒等變換與解三角形 [明晰考情] 1.命題角度：與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質相結合，考查解三角形及三角形的面積問題.2.題目難度：一般在解答題的第一題位置，中檔難度. 考點一 利用正弦、余弦定理解三角形 方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其實質是將幾何問題轉化為代數(shù)問題，適用于求三角形的邊或角. (2)邊角互化法解三角形：合理轉化已知條件中的邊角關系，適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問題. 1.(2018天津)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos. (1)求角B的大?。? (2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB. 又由bsinA＝acos，得asinB＝acos， 即sinB＝cos，所以tanB＝. 又因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝. 由bsinA＝acos，可得sinA＝. 因為a＜c，所以cosA＝. 因此sin2A＝2sinAcosA＝， cos2A＝2cos2A－1＝. 所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB ＝－＝. 2.(2018唐山模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30. (1)求證：BC＝4cos∠CBD； (2)點C移動時，判斷CD是否為定長，并說明理由. (1)證明 在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30， 由正弦定理可知， ＝， 所以BC＝4sin∠BAC. 又∠ABD＝60，∠ACB＝30， 則∠BAC＋∠CBD＝90， 則sin∠BAC＝cos∠CBD， 所以BC＝4cos∠CBD. (2)解 CD為定長，因為在△BCD中，由(1)及余弦定理可知， CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos∠CBD， ＝BC2＋4－4BCcos∠CBD ＝BC2＋4－BC2 ＝4， 所以CD＝2. 3.在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且＋＝. (1)求角A的大小； (2)若＝＋，a＝，求b的值. 解 (1)由題意，可得＋＝3， 即＋＝1， 整理得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理知，cosA＝＝， 因為0＜A＜π，所以A＝. (2)根據(jù)正弦定理，得＝＝＝＝＋cosA＝＋＝＋， 解得tanB＝，所以sinB＝. 由正弦定理得，b＝＝＝2. 考點二 三角形的面積問題 方法技巧 三角形面積的求解策略 (1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構造三角形，轉化為求三角形的面積. (2)若所給條件為邊角關系，則運用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角，再利用三角形面積公式求解. 4.(2017全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長. 解 (1)由題設得acsinB＝， 即csinB＝. 由正弦定理，得sinCsinB＝， 故sinBsinC＝. (2)由題設及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－， 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 5.(2018內蒙古集寧一中月考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC. (1)求角C的大??； (2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面積. 解 (1)由2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得， 2absinC＝a2＋b2－c2， ∴sinC＝，∴sinC＝cosC， ∴tanC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)， 得asinB＝bcosA， 由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝. 根據(jù)正弦定理可得＝，解得c＝， ∴S△ABC＝acsinB＝2sin(π－A－C) ＝sin＝. 6.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B的大??； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，① 又∵A＝π－(B＋C)， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.② 由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB. 又∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)△ABC的面積S＝acsinB＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤， 當且僅當a＝c時，等號成立. 因此△ABC面積的最大值為＋1. 考點三 解三角形的綜合問題 方法技巧 (1)題中的關系式可以先利用三角變換進行化簡. (2)和三角形有關的最值問題，可以轉化為三角函數(shù)的最值問題，要注意其中角的取值. (3)和平面幾何有關的問題，不僅要利用三角函數(shù)和正弦、余弦定理，還要和三角形、平行四邊形的一些性質結合起來. 7.(2018東北三校聯(lián)考)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2a－2ccosB. (1)求角C的大小； (2)求cosA＋sin的最大值，并求出取得最大值時角A，B的值. 解 (1)b＝2a－2ccosB＝2a－2c， 整理得a2＋b2－c2＝ab， 即cosC＝， 因為0
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