（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)講義（含解析）.docx

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5.1　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 最新考綱 考情考向分析 1.了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算． 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義. 以理解任意角三角函數(shù)的概念、能進行弧度與角度的互化和扇形弧長、面積的計算為主，常與向量、三角恒等變換相結合，考查三角函數(shù)定義的應用及三角函數(shù)的化簡與求值，考查分類討論思想和數(shù)形結合思想的應用意識．題型以選擇題為主，低檔難度. 1．角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是S＝{β|β＝k360＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限． 2．弧度制 (1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180＝πrad,1＝rad，1rad＝. (3)扇形的弧長公式：l＝|α|r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|r2. 3．任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時， 則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． 三個三角函數(shù)的初步性質如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號 sinα R ＋ ＋ － － cosα R ＋ － － ＋ tanα ＋ － ＋ － 4.三角函數(shù)線 如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T. 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 概念方法微思考 1．總結一下三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律． 提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函數(shù)坐標法定義中，若取點P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，怎樣定義角α的三角函數(shù)？ 提示　設點P到原點O的距離為r，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．  題組一　思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關．(　√　) (3)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(　√　) 題組二　教材改編 2．[P10A組T7]角－225＝______弧度，這個角在第______象限． 答案?。《? 3．[P15T2]若角α的終邊經過點Q，則sinα＝____，cosα＝________. 答案　?。? 4．[P10A組T6]一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為____弧度． 答案　 題組三　易錯自糾 5．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) 答案　C 解析　當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此時α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣；當k＝2n＋1 (n∈Z)時，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此時α表示的范圍與π＋≤α≤π＋表示的范圍一樣，故選C. 6．已知點P在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　因為點P在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝＝－，又θ∈，所以θ＝. 7．在0到2π范圍內，與角－終邊相同的角是________． 答案　 解析　與角－終邊相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得與角－終邊相同的角是. 8．函數(shù)y＝的定義域為__________________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cosx－1≥0，∴cosx≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)． 題型一　角及其表示 1．下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是 (　　) A．2kπ＋45(k∈Z) B．k360＋(k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　與角的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． 2．設集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝? 答案　B 解析　由于M中，x＝180＋45＝k90＋45＝(2k＋1)45，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝180＋45＝k45＋45＝(k＋1)45，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B. 3．終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為______________________． 答案　 解析　如圖，在坐標系中畫出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0,2π)內，終邊在直線y＝x上的角有兩個：，π； 在[－2π，0)內滿足條件的角有兩個：－π，－π，故滿足條件的角α構成的集合為. 4．若角α是第二象限角，則是第________象限角． 答案　一或三 解析　∵α是第二象限角， ∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． 思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角． (2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． 題型二　弧度制及其應用 例1已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.若α＝，R＝10cm，求扇形的面積． 解　由已知得α＝，R＝10cm， ∴S扇形＝αR2＝102＝(cm2)． 引申探究 1．若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積． 解　l＝αR＝10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形 ＝lR－R2sin ＝10－102＝(cm2)． 2．若例題條件改為：“若扇形周長為20cm”，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 解　由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(00.則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 答案　A 解析　∵cosα≤0，sinα>0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴　∴－2cosx成立的x的取值范圍是(　　) A.∪ B. C. D.∪ 答案　C 解析　當x∈時，sinx>0，cosx≤0，顯然sinx>cosx成立；當x∈時，如圖，OA為x的終邊，此時sinx＝|MA|，cosx＝|OM|，sinx≤cosx；當x∈時，如圖， OB為x的終邊，此時sinx＝|NB|，cosx＝|ON|，sinx>cosx．同理當x∈時，sinx>cosx；當x∈時，sinx≤cosx，故選C. 1．下列說法中正確的是(　　) A．第一象限角一定不是負角 B．不相等的角，它們的終邊必不相同 C．鈍角一定是第二象限角 D．終邊與始邊均相同的兩個角一定相等 答案　C 解析　因為－330＝－360＋30，所以－330角是第一象限角，且是負角，所以A錯誤；同理－330角和30角不相等，但它們終邊相同，所以B錯誤；因為鈍角的取值范圍為(90，180)，所以C正確；0角和360角的終邊與始邊均相同，但它們不相等，所以D錯誤． 2．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1B．4C．1或4D．2或4 答案　C 解析　設扇形的半徑為r，弧長為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 3．若角θ終邊過點P(4，m)，且sinθ＝，則m等于(　　) A．－3B．3C.D．3 答案　B 解析　sinθ＝＝，且m>0，解得m＝3. 4．點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　點P旋轉的弧度數(shù)也為，由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(x，y)滿足x＝cos＝ －，y＝sin＝. 5．已知點P(cosα，tanα)在第二象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　因為點P(cosα，tanα)在第二象限， 所以所以角α的終邊在第三象限，故選C. 6．(2018嘉興模擬)sin2cos3tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案　A 解析　∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0. 7．已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30)，且cosα＝－，則m的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　由題意得點P(－8m，－3)，r＝， 所以cosα＝＝－，解得m＝， 又cosα＝－<0，所以－8m<0，即m>0， 所以m＝. 8．下列命題中正確命題的個數(shù)是(　　) ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關； ④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同； ⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角． A．1B．2C．3D．4 答案　A 解析　舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故①錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；由于sin＝sin，但與的終邊不相同，故④錯；當cosθ＝－1，θ＝π時，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯． 綜上可知，只有③正確． 9．若圓弧長度等于該圓內接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________． 答案　 解析　設圓半徑為r，則圓內接正方形的對角線長為2r，∴正方形邊長為r，∴圓心角的弧度數(shù)是＝. 10．若角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝，則m－n＝________. 答案　2 解析　由已知tanα＝3，∴n＝3m， 又m2＋n2＝10，∴m2＝1. 又sinα<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2. 11．已知角α的終邊上一點P的坐標為，則角α的最小正值為________． 答案　 解析　由題意知，點P，r＝1，所以點P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值為. 12．函數(shù)y＝的定義域為__________________． 答案　，k∈Z 解析　利用三角函數(shù)線(如圖)， 由sinx≥，可知 2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 13.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________________． 答案　 解析　∵在[0,2π)內，終邊落在陰影部分角的集合為 ， ∴所求角的集合為. 14．若角α的終邊落在直線y＝x上，角β的終邊與單位圓交于點，且sinαcosβ<0，則cosαsinβ＝________. 答案　 解析　由角β的終邊與單位圓交于點，得cosβ＝，又由sinαcosβ<0知，sinα<0，因為角α的終邊落在直線y＝x上，所以角α只能是第三象限角．記P為角α的終邊與單位圓的交點，設P(x，y)(x<0，y<0)，則|OP|＝1(O為坐標原點)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cosα＝x＝－，因為點在單位圓上，所以2＋m2＝1，解得m＝，所以sinβ＝，所以cosαsinβ＝. 15．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計算弧田面積時所用的經驗公式，即弧田面積＝(弦矢＋矢2)．弧田(如圖1)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為3米的弧田，如圖2所示．按照上述經驗公式計算所得弧田面積大約是________平方米．(結果保留整數(shù)，≈1.73) 答案　5 解析　如題圖2，由題意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝3＝，可得CD＝3－＝，由AD＝AOsin＝3＝，可得AB＝2AD＝＝3. 所以弧田面積S＝(弦矢＋矢2) ＝＝＋≈5(平方米)． 16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于B點，始邊不動，終邊運動． (1)若點B的橫坐標為－，求tanα的值； (2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合； (3)若α∈，請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關系式． 解　(1)根據(jù)題意可得B，∴tanα＝. (2)若△AOB為等邊三角形， 則B或B， 當B時，α＝； 當B時，α＝－. ∴與角α終邊相同的角β的集合是. (3)若α∈， 則S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝11sinα＝sinα， 故弓形AB的面積S＝α－sinα，α∈.