2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)及解三角形 課后綜合提升練 1.1.1 三角函數(shù)的圖象與性質 文.doc

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第一講　三角函數(shù)的圖象與性質 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.在平面直角坐標系中,角α的始邊為x軸的正半軸,終邊經(jīng)過點P(1,-2),則20cos α+19sin α的值是 (　　) A.-1855 B.3855 C.1855 D.-18 【解析】選A.由題意,cos α=15,sin α=-25,所以20cos α+19sin α=2015-1925=-185=-1855. 2.已知ω>0,函數(shù)f(x)=sinωx+π4在π2,π上單調遞減,則ω的取值范圍是 (　　) A.12,54 B.12,34 C.0,12 D.(0,2] 【解析】選A.當ω=2時,ωx+π4∈5π4,9π4,不合題意,排除D.當ω=1時,ωx+π4∈3π4,5π4,合題意,排除B,C. 3.若將函數(shù)f(x)=2sin2x+π3的圖象向右平移φ個單位,所得圖象關于y軸對稱,則φ的最小正值是 (　　) A.5π12 B.π3 C.2π3 D.-5π6 【解析】選A.把該函數(shù)的圖象向右平移φ個單位,所得圖象對應的函數(shù)解析式為:y=2sin2x+π3-2φ,又所得圖象關于y軸對稱,則 π3-2φ=kπ+π2,k∈Z, 所以當k=-1時,φ有最小正值是 5π12. 4.設函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期為π,且對于任意的實數(shù)x都有f(x)≤fπ8,則下列說法不正確的是 (　　) A.f(x)的一個零點為-π8 B.f(x)的一條對稱軸為x=π8 C.f(x)在區(qū)間3π8,5π8上單調遞增 D.fx+π8是偶函數(shù) 【解析】選C.因為函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的最小正周期為π,所以ω=2,又因為對于任意的實數(shù)x都有f(x)≤fπ8,所以2π8+φ=π2+2kπ(k∈Z),因為0<φ<π2,所以φ=π4,所以f(x)=sin2x+π4,由2x+π4=kπ(k∈Z),得x=k2π-π8(k∈Z),所以f(x)的一個零點是-π8,由2x+π4=kπ+π2(k∈Z),得x=k2π+π8 (k∈Z),所以f(x)的一條對稱軸是x=π8,由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,所以f(x)的增區(qū)間是kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z,因為 fx+π8=sin2x+π2=cos 2x是偶函數(shù),所以A,B,D都是正確的,C是錯誤的. 5.設偶函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分圖象如圖所示, △KMN為等腰直角三角形,∠KMN=90,則f13的值為 (　　) A.-34 B.14 C.-12 D.34 【解析】選B.由題圖知函數(shù)的周期T=232-12=2,由2πω=2,得ω=π.因為△KMN為等腰直角三角形,∠KMN=90,知點M到x軸的距離是12,則f(x)=12cos(πx+φ),因為f(x)是偶函數(shù),0≤φ<π,所以π0+φ=0,所以φ=0,f(x)=12cos πx,故f13=12cosπ3=14. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.函數(shù)f(x)=sin 2x+23cos2x-3,函數(shù)g(x)=mcos2x-π6-2m+3(m>0),若存在x1,x2∈0,π4,使得f(x1)=g(x2)成立,則實數(shù)m的取值范圍是_________. 【解析】函數(shù)f(x)=sin 2x+23cos2x-3 =sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3. 因為x1∈0,π4,所以π3≤2x1+π3≤5π6, 所以sin2x1+π3∈12,1, 故得函數(shù)f(x1)的值域為[1,2]. 函數(shù)g(x)=mcos2x-π6-2m+3(m>0), 因為x2∈0,π4,所以-π6≤2x2-π6≤π3, 所以cos2x2-π6∈12,1, 故得函數(shù)g(x2)的值域為3-32m,3-m.由題意存在x1,x2∈0,π4,使得f(x1)=g(x2)成立,則需滿足:3-m≥1且3-32m≤2,解得實數(shù)m的取值范圍是23,2. 答案:23,2 7.已知a=(3cos x,2sin x),b=(2cos x,-cos x),函數(shù)f(x)=ab-3,下面四個結論中正確的是____________.(把所有正確命題的序號填寫在橫線上) ①函數(shù)f(x)的最小正周期為π;②函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π6對稱;③函數(shù)f(x)的圖象是由的y=2cos 2x圖象向左平移π6個單位得到的;④函數(shù)fx+π6是奇函數(shù). 【解析】f(x)=ab-3=23cos2 x-2sin xcos x-3 =3cos 2x-sin 2x=2cos2x+π6. ①因為最小正周期為T=2π2=π,所以①正確; ②因為當x=π6時,2x+π6=π2,所以fπ6=0,所以②錯誤; ③由y=2cos 2x的圖象向左平移π6個單位得到函數(shù) y=2cos 2x+π6=2cos2x+π3,所以③錯誤; ④因為fx+π6=2cos2x+π6+π6= 2cos2x+π2=-2sin 2x是奇函數(shù),所以④正確. 答案:①④ 8.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象如圖所示,fπ2=-23,則f(0)=_____. 【解析】由圖象可得最小正周期為2π3,于是f(0)=f2π3,注意到2π3與π2關于7π12對稱, 所以f2π3=-fπ2=23,故f(0)=23. 答案:23 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.向量a=(sin x,3cos x),b=(cos x,-cos x),函數(shù)f(x)=ab+32. (1)求函數(shù)y=f(x)的對稱軸的方程. (2)求函數(shù)f(x)在0,π2上的最大值和最小值. 【解析】(1)f(x)=sin xcos x-3cos2x+32=12sin 2x-32(1+cos 2x)+32 =12sin 2x-32cos 2x=sin2x-π3, 對稱軸的方程為2x-π3=kπ+π2,k∈Z, 解得x=kπ2+5π12,k∈Z. (2)因為x∈0,π2,則2x-π3∈-π3,2π3, 所以sin2x-π3∈-32,1, 所以f(x)max=1,f(x)min=-32. 10.已知向量a=(x+3,x),b=(-sin 2θ,-csin θ-ccos θ). (1)當x=-1,θ=π時,有|a-b|=2,求實數(shù)c的值. (2)對于任意的實數(shù)x和任意的θ∈π,3π2,均有|a-b|≥24,求實數(shù)c的取值范圍. 【解析】 (1)當x=-1,θ=π時,a=(2,-1),b=(0,c), 因為|a-b|=2,所以4+(c+1)2=2,所以c=-1. (2)對任意的x∈R與θ∈π,3π2,有(x+3+2sin θcos θ)2+(x+csin θ+ ccos θ)2≥18恒成立 令m=3+2sin θcos θ,n=csin θ+ccos θ,則 (x+m)2+(x+n)2≥18?2x2+2(m+n)x+m2+n2-18≥0 ?Δ=4(m+n)2-8m2+n2-18≤0?(m-n)2≥14?m-n≤-12或m-n≥12. 令t=sin θ+cos θ?2sin θcos θ=t2-1,t=sin θ+cos θ=2sinθ+π4∈[-2,-1], 即m=t2+2,n=ct,m-n=t2-ct+2, 則t2-ct+2≤-12或t2-ct+2≥12. ?ct≥t2+52或ct≤t2+32?c≤t+52t或c≥t+32t(t∈[-2,-1]) 由單調性可得c≤-72或c≥-6. 綜上可得實數(shù)c的取值范圍為-∞,-72或[-6,+∞). 11.某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成,圓錐的側面用于藝術裝飾,如圖1.為了便于設計,可將該禮品看成是由圓O及其內接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉180而成,如圖2.已知圓O的半徑為10 cm,設∠BAO=θ,0<θ<π2,圓錐的側面積為S cm2. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式. (2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度. 【解析】(1)設AO交BC于點D,過O作OE⊥AB,垂足為E, 在Rt△AOE中,AE=10cos θ,則AB=2AE=20cos θ, 在Rt△ABD中,BD=ABsin θ=20cos θsin θ, 所以S=122π20sin θcos θ20cos θ =400πsin θcos2θ0<θ<π2. (2)要使側面積最大,由(1)得: S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ). 設f(x)=x-x3,(00,當x∈33,1時,f′(x)<0, 所以f(x)在區(qū)間0,33上單調遞增,在區(qū)間33,1上單調遞減, 所以f(x)在x=33處取得極大值,也是最大值; 所以當sin θ=33時,側面積S取得最大值, 此時等腰三角形的腰長AB=20cos θ=201-sin2θ= 201-332=2063(cm). 答:側面積S取得最大值時,等腰三角形ABC的腰AB的長度為2063 cm. 【提分備選】1.(2017山東高考)設函數(shù)f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2,其中0<ω<3.已知fπ6=0. (1)求ω. (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移π4個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在-π4,3π4上的最小值. 【解析】(1)因為f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2, 所以f(x)=32sin ωx-12cos ωx-cos ωx =32sin ωx-32cos ωx =312sinωx-32cosωx=3sinωx-π3. 由題設知fπ6=0,所以ωπ6-π3=kπ,k∈Z. 故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f(x)=3sin2x-π3, 所以g(x)=3sinx+π4-π3=3sinx-π12. 因為x∈-π4,3π4,所以x-π12∈-π3,2π3, 當x-π12=-π3,即x=-π4時,g(x)取得最小值-32. 2.某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,填寫在相應位置,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式. (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動π6個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求 y=g(x)的圖象離原點O最近的對稱中心. 【解析】(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-π6.數(shù)據(jù)補全如表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)解析式為f(x)=5sin2x-π6. (2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6, 因此g(x)=5sin2x+π6-π6 =5sin2x+π6. 因為y=sin x的對稱中心為(kπ,0),k∈Z. 令2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z. 即y=g(x)圖象的對稱中心為kπ2-π12,0,k∈Z,其中離原點O最近的對稱中心為-π12,0. (20分鐘　20分) 1.(10分)設函數(shù)f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為2π3. (1)求ω的值. (2)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移π2個單位長度得到,求y=g(x)的單調遞增區(qū)間、對稱軸和對稱中心. 【解析】(1)f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx=sin2 ωx+cos2ωx+sin 2ωx +1+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+2 =2sin2ωx+π4+2, 依題意得2π2ω=2π3,故ω的值為32. (2)依題意得: g(x)=2sin3x-π2+π4+2 =2sin3x-5π4+2, 由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2(k∈Z), 解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z),故y=g(x)的單調遞增區(qū)間為 23kπ+π4,23kπ+7π12(k∈Z), 因為g(x)=2sin3x-5π4+2, 所以由3x-5π4=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ3+7π12,k∈Z,所以y=g(x)的對稱軸為x=kπ3+7π12, k∈Z. 由3x-5π4=kπ,k∈Z,得x=kπ3+5π12,k∈Z, 所以y=g(x)的對稱中心為kπ3+5π12,0k∈Z. 綜上所述,y=g(x)的單調遞增區(qū)間為 23kπ+π4,23kπ+7π12(k∈Z),對稱軸為x=kπ3+7π12,k∈Z,對稱中心為kπ3+5π12,0,k∈Z. 2.(10分)已知函數(shù)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值. (2)討論f(x)在π6,2π3上的單調性. 【解析】(1)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos2x =cos xsin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32, 因此f(x)的最小正周期為π,最大值為2-32. (2)當x∈π6,2π3時,0≤2x-π3≤π,從而當0≤2x-π3≤π2,即π6≤x≤5π12時,f(x)單調遞增, 當π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x≤2π3時,f(x)單調遞減. 綜上可知,f(x)在π6,5π12上單調遞增;在5π12,2π3上單調遞減.