2020版高考數(shù)學一輪復習 第12章 選修4系列 第1講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第12章 選修4系列 第1講 A組　基礎關 1．在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 解　在ρsin＝－中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P， 所以圓C的半徑PC＝＝1， 于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ. 2．設M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離． 解　因為M，N分別是曲線ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 3．(2019甘肅省會寧二中模擬)在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0. (1)求直線l的極坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AB的長． 解　(1)由得y＝x， ∴在平面直角坐標系中， 直線l經(jīng)過坐標原點，傾斜角是， 因此，直線l的極坐標方程是θ＝(ρ∈R)． (2)把θ＝代入曲線C的極坐標方程 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得 ρ2－ρ－3＝0， 由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得 ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－3， ∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝. 4．在直角坐標系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為 (φ1是參數(shù))，圓C2的參數(shù)方程為(φ2是參數(shù))，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求圓C1，圓C2的極坐標方程； (2)射線θ＝α(0≤α<2π)同時與圓C1交于O，M兩點，與圓C2交于O，N兩點，求|OM|＋|ON|的最大值． 解　(1)圓C1：(x－)2＋y2＝3，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，故圓C1：ρ＝2cosθ，圓C2：ρ＝2sinθ. (2)當θ＝α時，點M的極坐標為(2cosα，α)，點N的極坐標為(2sinα，α)，∴|OM|＋|ON|＝2cosα＋2sinα， ∴|OM|＋|ON|＝4sin，∵≤α＋<， ∴當α＋＝，即α＝時，|OM|＋|ON|取得最大值4. B組　能力關 1．以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)過極點O作直線l交曲線C于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標方程． 解　(1)∵ρ＝，ρsinθ＝y(tǒng)， ∴ρ＝化為ρ－ρsinθ＝2， ∴曲線的直角坐標方程為x2＝4y＋4. (2)設直線l的極坐標方程為θ＝θ0(ρ∈R)， 根據(jù)題意＝3， 解得θ0＝或θ0＝， ∴直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)． 2．(2018貴州適應性測試)在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sinθ. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)過原點且傾斜角為α的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(A，B異于原點)，求|OA||OB|的取值范圍． 解　(1)由曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sinθ， 兩邊同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ， 故曲線C2的直角坐標方程為x2＝y(tǒng). (2)射線l的極坐標方程為θ＝α，<α≤， 把射線l的極坐標方程代入曲線C1的極坐標方程得 |OA|＝ρ＝4cosα， 把射線l的極坐標方程代入曲線C2的極坐標方程得 |OB|＝ρ＝， ∴|OA||OB|＝4cosα＝4tanα. ∵<α≤，∴|OA||OB|的取值范圍是. 3．在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝0，圓C2：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C1與C2的交點為A，C2與C3的交點為B，求△OAB的面積． 解　(1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以C1的極坐標方程為ρcosθ＝0，即θ＝(ρ∈R)，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0，得ρ2－2(1＋)ρ＋(3＋2)＝0， 解得ρ1＝1＋. 將θ＝代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋)ρsinθ＋(3＋2)＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋(3＋2)＝0， 解得ρ2＝1＋.故△OAB的面積為(1＋)2 sin＝1＋. 4．(2018鄭州模擬)在極坐標系中，曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos＝1. (1)求曲線C1和C2的公共點的個數(shù)； (2)過極點作動直線與曲線C2相交于點Q，在OQ上取一點P，使|OP||OQ|＝2，求點P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形． 解　(1)C1的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1，0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標方程為x－y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心到直線C2的距離為d＝>1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒有公共點． (2)設Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則即① 因為點Q(ρ0，θ0)在曲線C2上， 所以ρ0cos＝1，② 將①代入②，得cos＝1， 即ρ＝2cos為點P的軌跡方程，化為直角坐標方程為2＋2＝1，因此點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．