2019高考數(shù)學一本策略復習 專題三 數(shù)列 第二講 數(shù)列的綜合應(yīng)用教案 文.docx

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第二講　數(shù)列的綜合應(yīng)用 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學科素養(yǎng) 2018 Ⅱ卷 等差數(shù)列的前n項和最值問題T17 命題分析 數(shù)列在解答題中的考查常從數(shù)列的相關(guān)項以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的通項、前n項和，有時與參數(shù)的求解、數(shù)列、不等式的證明等加以綜合．試題難度中等． 學科素養(yǎng) 通過遞推關(guān)系求通項，根據(jù)通項結(jié)構(gòu)選擇恰當?shù)那蠛头椒ㄇ蠛? 2017 Ⅱ卷 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用T17 Ⅲ卷 已知遞推關(guān)系求通項與裂項求和T17 2016 Ⅱ卷 等差數(shù)列的基本運算T 17 Ⅲ卷 數(shù)列的通項公式T17 由遞推關(guān)系求通項 授課提示：對應(yīng)學生用書第30頁 [悟通——方法結(jié)論] 求數(shù)列通項常用的方法 (1)定義法：①形如an＋1＝an＋C(C為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列．②形如an＋1＝kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列． (2)疊加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通項公式． (3)疊乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1…，求其通項公式． (4)待定系數(shù)法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解． (5)構(gòu)造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝＋，構(gòu)造新數(shù)列{bn}，得bn＋1＝bn＋，接下來用待定系數(shù)法求解． [全練——快速解答] 1．(2018洛陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n＋1　 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n＋2 解析：由題意可知，數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則n≥2時，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋5，n≥2， 兩式相減可得，＝2n＋5－2(n－1)－5＝2， ∴an＝2n＋1，n≥2，n∈N*. 當n＝1時，＝7，∴a1＝14， 綜上可知，數(shù)列{an}的通項公式為an＝ 答案：B 2．(2018潮州月考)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 解析：法一：由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)． 又a2＝2S1＋1＝3， ∴a2＝3a1，故{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＝3n－1. 法二：由于an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝2Sn＋1， 所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，Sn＋1＝3Sn＋1， 所以Sn＋1＋＝3， 所以數(shù)列為首項是S1＋＝，公比為3的等比數(shù)列，故Sn＋＝3n－1＝3n， 即Sn＝3n－. 所以，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 由n＝1時a1＝1也適合這個公式，知所求的數(shù)列{an}的通項公式是an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 3．(2018福州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1. (1)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)設(shè)bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解析：(1)證明：當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， 所以an＝2an－1， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an＝2n－1， 所以bn＝(2n－1)2n－1， 所以Tn＝1＋32＋522＋…＋(2n－3)2n－2＋(2n－1)2n－1① 2Tn＝12＋322＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n② 由①－②得 －Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n ＝1＋2－(2n－1)2n ＝(3－2n)2n－3， 所以Tn＝(2n－3)2n＋3. 【類題通法】 由an與Sn關(guān)系求通項公式的注意事項 　(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1也適合，則需統(tǒng)一“合寫”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝ 數(shù)列求和 授課提示：對應(yīng)學生用書第31頁 [悟通——方法結(jié)論] 　常用求和方法 (1)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的數(shù)列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，兩式錯位相減即可求出Sn. (2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法．裂項相消法適用于形如(其中{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列． (3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和． 　(2017高考全國卷Ⅲ)(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足 (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． [學審題] 條件信息 想到方法 注意什么 由?a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n an與Sn的關(guān)系求解 分n＝1，n≥2討論 由? 根據(jù)通項結(jié)構(gòu)選裂項求和 裂項時消去項與保留項的首尾對應(yīng) [規(guī)范解答]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n －1)an＝2n， 故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． (2分) 兩式相減得(2n －1)an＝2，d 所以an＝(n≥2)． (4分) 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 從而{an}的通項公式為an＝. (6分) (2)記{}的前n項和為Sn. 由(1)知＝＝－. (10分) 則Sn＝－＋－＋…＋－＝. (12分) 【類題通法】 1．分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用 (1)當數(shù)列通項中含有(－1)n時，在求和時要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)處理． (2)對已知數(shù)列滿足＝q，在求{an}的前n項和時分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和． 2．學科素養(yǎng)：通過數(shù)列求和著重考查學生邏輯推理與數(shù)學運算能力． [練通——即學即用] 1．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．0　　　 B．100 C．－100 D．10 200 解析：由題意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故選B. 答案：B 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝35＝15. 答案：A 3．(2018張掖診斷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)令cn＝＋，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn. 解析：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4， 知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 兩式相減并化簡得an＋1＝an， ∴an＝n－1， bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n. (2)由題意知，cn＝＋. 令Hn＝＋＋＋…＋，① 則Hn＝＋＋…＋＋，② ①－②得， Hn＝＋＋＋…＋－＝1－. ∴Hn＝2－. 又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝， ∴Tn＝Hn＋Mn＝2－＋. 數(shù)列的綜合應(yīng)用 授課提示：對應(yīng)學生用書第32頁 [悟通——方法結(jié)論] 數(shù)列中的綜合問題，大多與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何交匯，考查利用函數(shù)與方程的思想及分類討論思想解決數(shù)列中的問題，用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與解析幾何交匯，主要涉及點列問題． 　(1)(2018德州模擬)已知點O為坐標原點，點An(n，an)(n∈N*)為函數(shù)f(x)＝的圖象上的任意一點，向量i＝(0,1)，θn是向量與i的夾角，則數(shù)列的前2 015項的和為(　　) A．2　　　B.　　　C.　　　D．1 解析：因為an＝，所以＝(n，)，所以cos θn＝＝，因為0≤θn≤π，所以sin θn＝＝，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案：C (2)(2018日照模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：2Sn＋an＝1. ①求數(shù)列{an}的通項公式； ②設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜. 解析：①因為2Sn＋an＝1，所以2Sn＋1＋an＋1＝1， 兩式相減可得2an＋1＋an＋1－an＝0，即3an＋1＝an，即＝， 又2S1＋a1＝1，所以a1＝， 所以數(shù)列{an}是首項、公比均為的等比數(shù)列． 故an＝()n－1＝()n，數(shù)列{an}的通項公式為an＝()n. ②證明：因為bn＝， 所以bn＝＝＝＝－. 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＜. 所以Tn＜. 【類題通法】 數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明，在求解時要注意等價轉(zhuǎn)化即分離參數(shù)法與放縮法的技巧應(yīng)用． [練通——即學即用] 1．(2018寶雞摸底)正項等比數(shù)列{an}中，a2 017＝a2 016＋2a2 015，若aman＝16a，則＋的最小值等于(　　) A.1　　 B. C. D. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0， ∵a2 015q2＝a2 015q＋2a2 015， ∴q2－q－2＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去)， 又a1qm－1a1qn－1＝16a， ∴2m＋n－2＝16，∴m＋n－2＝4，m＋n＝6， ∴＝ ≥＝，當且僅當m＝4，n＝2時等號成立．故＋的最小值為. 答案：B 2．(2018煙臺模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝＋(x＞0)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對n∈N*，設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求實數(shù)t的取值范圍． 解析：(1)由an＝f()得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2， 所以{an}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． 所以an＝1＋(n－1)＝，n∈N*. (2)因為an＝，所以an＋1＝， 所以＝＝(－)． 則Sn＝＋＋＋…＋＝(－)＝. 故Sn≥恒成立等價于≥，即t≤恒成立． 令g(x)＝(x＞0)，則g′(x)＝＞0， 所以g(x)＝(x＞0)為單調(diào)遞增函數(shù)． 所以當n＝1時，取得最小值，且()min＝. 所以t≤，即實數(shù)t的取值范圍是(－∞，]. 授課提示：對應(yīng)學生用書第120頁 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝(　　) A．2　　　 B．4 C．5 D. 解析：因為＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故選B. 答案：B 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值為(　　) A．2 500 B．2 600 C．2 700 D．2 800 解析：當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0?an＝1， 當n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2?an＝n， 故an＝ 于是S100＝50＋＝2 600. 答案：B 3．(2018海淀二模)在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當an＝0時，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當{an}是公比為2的等比數(shù)列時，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立． 答案：B 4．若數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使akak＋1＜0的k值為(　　) A．22 B．21 C．24 D．23 解析：因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使akak＋1＜0的k值為23. 答案：D 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則其前6項之和為(　　) A．16 B．20 C．33 D．120 解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6項和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故選C. 答案：C 6．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，關(guān)于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集為[0,9]，則使數(shù)列{an}的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：∵關(guān)于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集為[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx2＋2a1x＝0的兩個實數(shù)根，且d＜0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－)d，可得a5＝－d＞0，a6＝d＜0.∴使數(shù)列{an}的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是5. 答案：B 7．(2018湘中名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016a2 017＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 032 D．4 033 解析：因為a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016a2 017＜0，所以d＜0，a2 016＞0，a2 017＜0，所以S4 032＝＝＞0，S4 033＝＝4 033a2 017＜0，所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 032. 答案：C 8．已知數(shù)列{an}，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：∵|an＋1|＞an，∴或 又∵數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴an＋1＞an， ∴“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件． 答案：D 二、填空題 9．(2018沈陽模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，則an＝________. 解析：法一：因為an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，累加，得an＝2n－1(n∈N*)． 法二：因為an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1(n∈N*) 10．(2018遼寧五校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝3且當n≥2時，2an＝SnSn－1，則{an}的通項公式an＝________. 解析：當n≥2時，由2an＝SnSn－1可得2(Sn－Sn－1)＝SnSn－1，∴－＝，即－＝－，∴數(shù)列{}是首項為，公差為－的等差數(shù)列，∴＝＋(－)(n－1)＝，∴Sn＝.當n≥2時，an＝SnSn－1＝＝，又a1＝3，∴an＝ 答案： 11．(2018廣州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則＝________. 解析：因為an＋1＝a＋an， 所以＝＝－， 即＝－， 于是＋＋…＋＝＋＋…＋＝－. 因為a1＝1，a2＝2＞1，a3＝6＞1，…， 可知∈(0,1)，則－∈(0,1)， 所以＝0. 答案：0 12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，則an取最小值時n的值為________． 解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)， 兩邊同時除以n(n＋1)，得－＝2， 所以數(shù)列是首項為－40、公差為2的等差數(shù)列， 所以＝－40＋(n－1)2＝2n－42， 所以an＝2n2－42n， 對于二次函數(shù)f(x)＝2x2－42x， 在x＝－＝－＝10.5時，f(x)取得最小值， 因為n取正整數(shù)，且10和11到10.5的距離相等， 所以n取10或11時，an取得最小值． 答案：10或11 三、解答題 13．(2018棗莊模擬)已知方程anx2－an＋1x＋1＝0(an＞0)有兩個根αn、βn，a1＝1，且滿足(1－)(1－)＝1－2n，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝log2(an＋1)，cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解析：(1)由已知可得，， 又(1－)(1－)＝1－2n，∴1－＋＝1－2n， 整理得，an＋1－an＝2n，其中n∈N*. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＝＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝log2(2n－1＋1)＝n， ∴cn＝n(2n－1)＝n2n－n. ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝12＋222＋323＋…＋n2n－(1＋2＋…＋n)， 設(shè)Pn＝12＋222＋323＋…＋n2n，① 則2Pn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，② ①－②得－Pn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， ∴Pn＝(n－1)2n＋1＋2. 又Qn＝1＋2＋…＋n＝， ∴Tn＝Pn－Qn＝(n－1)2n＋1＋2－. 14．(2018九江一中模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a22－3a7＝2，且，，S3成等比數(shù)列，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對于任意的n∈N*，都有64Tn＜|3λ－1|成立，求實數(shù)λ的取值范圍． 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由得 ， 即， 解得或. 當a1＝－，d＝時，＝?jīng)]有意義， ∴a1＝2，d＝2，此時an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)bn＝＝＝[－]． Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋ [－]＋[－] ＝[1＋－－] ＝－[＋]， ∴64Tn＝5－4[＋]＜5， 為滿足題意，只需|3λ－1|≥5，∴λ≥2或λ≤－.