2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題8 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程學(xué)案.doc

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第2講　小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 一、主干知識要記牢 1．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比表 解析式 y＝ax(a＞0與a≠1) y＝logax(a＞0與a≠1) 圖象 定義域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 單調(diào)性 0＜a＜1時，在R上是減函數(shù)；a＞1時，在R上是增函數(shù) 0＜a＜1時，在(0，＋∞)上是減函數(shù)；a＞1時，在(0，＋∞)上是增函數(shù) 兩圖象 的對稱性 關(guān)于直線y＝x對稱 2．方程的根與函數(shù)的零點 (1)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系 由函數(shù)零點的定義，可知函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)．所以方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (2)函數(shù)零點的存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數(shù)根． 二、易錯易混要明了 1．不能準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如討論函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；研究對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)時忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件． 2．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準(zhǔn)確互化． 3．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一個零點，要注意討論a是否為零． 考點一　基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題 (1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較． (2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較． (3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結(jié)合圖象比較大?。? 1．(2018南充三模)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2－x與y＝－log2x的圖象都正確的是(　A　) A 　B C 　D 解析　因為y＝2－x＝x，所以函數(shù)單調(diào)遞減，排除B，D． y＝x與y＝－log2x＝x的圖象關(guān)于y＝x軸對稱．排除C． 故選A． 2．已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　A　) A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 解析　因為f(x)＝3x－x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x＋x＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)． 3．(2017全國卷Ⅰ)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　D　) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 解析　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1． 則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝． ∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y． 又∵2x－5z＝－＝ ＝<0， ∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故選D． 考點二　函數(shù)的零點 1．判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 直接法 直接求零點，令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點的個數(shù) 定理法 利用零點存在性定理，利用該定理只能確定函數(shù)的某些零點是否存在，必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點 數(shù)形 結(jié)合法 對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點問題 2．利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解． (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解． (3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解． 1．(2018安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝2|x|f(x)－2的零點個數(shù)為(　B　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析　畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖， 由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝，則問題化為函數(shù)f(x)＝與函數(shù)y＝＝21－|x|的圖象的交點的個數(shù)問題．結(jié)合圖象可以看出兩函數(shù)圖象的交點只有兩個，應(yīng)選答案B． 2．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　C　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析　 方法一　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(0,1)，選C． 方法二　函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點，即函數(shù)y＝ex的圖象與y＝－x＋2的圖象的交點的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)y＝ex與直線y＝－x＋2的圖象如圖所示， 由圖可知選C． 3．(2018湖北聯(lián)考)奇函數(shù)f(x)是R上單調(diào)函數(shù)，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零點，則a的取值集合為{a|a≤0或a＞4}． 解析　函數(shù)g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有且只有一個零點，即方程f(ax3)＋f(1－3x)＝0有且只有一個根或兩相等實數(shù)根，∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，即f(ax3)＝f(－1＋3x)有且只有一個根或兩相等實數(shù)根，又f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，∴方程ax3＝－1＋3x，即a＝－＋有且只有一個根或兩相等實數(shù)根，作出y＝－＋的圖象： 由圖易得a的取值集合{a|a≤0或a＞4}．