2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)19 直線的方向向量與平面的法向量 蘇教版必修4.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十九)　直線的方向向量與平面的法向量 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則x＝________，y＝________. [解析]　由l1∥l2，得＝＝，解得x＝12，y＝9. [答案]　12　9 2．設(shè)直線l1的方向向量為a＝(2，－1,2)，直線l2的方向向量為b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，則m＝________. [解析]　∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－. [答案]?。? 3．設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若ab＝0，則l與α的位置關(guān)系是________． [解析]　由題意知，因?yàn)閍b＝0，所以a⊥b，所以l在平面α內(nèi)或l與平面平行． [答案]　l在平面α內(nèi)或l與平面平行 4．設(shè)A是空間任意一點(diǎn)，n為空間任一非零向量，則適合條件n＝0的點(diǎn)M的軌跡是________． [解析]　n＝0稱為一個(gè)平面的向量表示式，這里考查的是基本概念． [答案]　過(guò)點(diǎn)A且與向量n垂直的平面 5．已知直線l1的方向向量為a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量為b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392190】 [解析]　因?yàn)閨a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，a＝(2,4,4)，由ab＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此時(shí)x＋y＝4－3＝1；當(dāng)x＝－4時(shí)，a＝(2,4，－4)，由ab＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此時(shí)x＋y＝－4＋1＝－3. 綜上，得x＋y＝－3或x＋y＝1. [答案]?。?或1 6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標(biāo)為________． [解析]　設(shè)單位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 由n0＝0，且n0＝0得解得或 [答案]　或 7．已知平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，則平面α的一個(gè)法向量是________． [解析]　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)， 依題意，應(yīng)有n＝0，n＝0， 即解得 令y＝1，則x＝2. ∴平面α的一個(gè)法向量為n＝(2,1,0)． [答案]　(2,1,0) 8．已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0，z)，若⊥，⊥，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392191】 [解析]　∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)， ∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)． ∵⊥，⊥， ∴＝(－x,1，－z)(－1，－1,1)＝0， ＝(－x,1，－z)(2,0,1)＝0， ∴ ∴ ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. [答案]　 二、解答題 9．在正方體ABCDA1B1C1D1中，證明：是平面A1BC1的法向量． [證明]　建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是＝(1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，由于＝－1＋1＝0，＝－1＋1＝0. ∴⊥，⊥，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量． 10．已知ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系如圖325.AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2， 圖325 (1)求平面B1CD1的一個(gè)法向量； (2)設(shè)M(x，y，z)是平面B1CD1內(nèi)的任意一點(diǎn)，求x，y，z滿足的關(guān)系式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392192】 [解]　(1)在題圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中各點(diǎn)坐標(biāo)為B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)， 由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)， 設(shè)平面B1CD1的一個(gè)法向量為a＝(x，y，z)， 則a⊥，a⊥，從而a＝0，a＝0， 所以0x＋4y－2z＝0，－3x＋0y＋2z＝0， 解方程組 得 不妨取z＝6，則y＝3，x＝4. 所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一個(gè)法向量． (2)由題意可得，＝(x－3，y，z－2)， 因?yàn)閍＝(4,3,6)是平面B1CD1的一個(gè)法向量， 所以a⊥，從而a＝0， 即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24， 所以滿足題意的關(guān)系式是4x＋3y＋6z＝24. [能力提升練] 1．若不重合的兩個(gè)平面的法向量分別是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________． [解析]　∵a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)， ∴a＝－3b，a∥b. ∴這兩個(gè)平面平行． [答案]　平行 2．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(－1,1,0)，α的一個(gè)法向量為n＝(－1,1,1)，則下列各點(diǎn)中，在平面α內(nèi)的是________(填序號(hào))． ①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④. [解析]　設(shè)平面α內(nèi)任意點(diǎn)P(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z)，故n＝－x－1＋y－1＋z＝0，即x－y－z＋2＝0，把各點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，可知②③符合． [答案]?、冖? 3．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，則給出下列結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一個(gè)法向量；④∥.其中正確的結(jié)論是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392193】 [解析]?。?(－1)＋(－1)2＋(－4)(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥，即AP⊥AB； ＝(－1)4＋22＋0＝0，則⊥，即AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個(gè)法向量．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴≠≠，所以與不平行． [答案]?、佗冖? 4．如圖326，四棱錐PABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD為正方形，E為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在PB上，問(wèn)F在何位置時(shí)，為平面DEF的一個(gè)法向量？ 圖326 [解]　建系如圖，設(shè)DA＝2， 則D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)． ∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)， ∴＝(2,2，－2)． 設(shè)F(x，y，z)，＝λ， ∴(x，y，z－2)＝λ(2,2，－2)， ∴ ∴F(2λ，2λ，2－2λ)， ∴＝(2λ，2λ，2－2λ)． ∵＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝， ∴F為PB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近P點(diǎn))．