2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題7.6 直接證明與間接證明導(dǎo)學(xué)案 理.doc

第六節(jié) 直接證明與間接證明最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點2.了解反證法的思考過程和特點.知識梳理1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的_推理論證_，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論_成立_，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)(2)分析法定義：從要證明的_結(jié)論_出發(fā)，逐步尋求使它成立的_充分條件_，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法框圖表示：.2間接證明反證法：假設(shè)原命題_不成立_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_矛盾_，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法3利用反證法證題的步驟(1)反設(shè)：假設(shè)所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾與假設(shè)矛盾，與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立)4.反證法證明中，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x成立至少有n個至多有n1個p或qp且q至多有n個至少有n1個p且qp或q典型例題考點一分析法的應(yīng)用 【例1】已知a>0，證明 a2.規(guī)律方法（1）當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，常考慮用分析法（2）分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性【變式訓(xùn)練1】已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，C求證：. 【證明】要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.考點二 綜合法的應(yīng)用 【例2】 已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象在交點(0,0)處有公共切線(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)g(x)【解析】 (1)f(x)，g(x)bxx2，由題意得解得a0，b1.(2)證明：令h(x)f(x)g(x)ln (x1)x3x2x(x>1)，h(x)x2x1，x>1，當(dāng)1<x<0時，h(x)>0；當(dāng)x>0時，h(x)<0.則h(x)在(1,0)上為增函數(shù)，在(0，)上為減函數(shù)h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)規(guī)律方法 綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書寫，但要注意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設(shè)條件的正確運用【變式訓(xùn)練2】設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項的和記bn，nN*，其中c為實數(shù)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)【證明】由題意得，Snnad.由c0，得bnad.又因為b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即2a，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.考點三 反證法的應(yīng)用 命題角度一證明否定性命題【例3】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？【解析】(1)證明：若Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當(dāng)q1時，Sn是等差數(shù)列當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列假設(shè)q1時，S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2S1S3,2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當(dāng)q1時，Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，Sn不是等差數(shù)列.命題角度二證明“至多”，“至少”，“唯一”性命題【例4】已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由【解析】(1)證明：由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，假設(shè)不成立故不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.規(guī)律方法 反證法的適用范圍及證明的關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證(2)關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【變式訓(xùn)練4】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列【解析】 (1)設(shè)an的前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn課堂總結(jié)1分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來2用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論3利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤課后作業(yè)1用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)()A三個內(nèi)角都不大于60B三個內(nèi)角都大于60C三個內(nèi)角至多有一個大于60D三個內(nèi)角至多有兩個大于60【答案】B【解析】 “至少有一個不大于60”的反面是“都大于60”2用反證法證明命題：若abc為偶數(shù)，則“自然數(shù)a，b，c恰有一個偶數(shù)”時正確反設(shè)為( )A自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) B自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)C自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù) D自然數(shù)a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)【答案】D.【解析】 由于“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”，故選D3用反證法證明命題：“已知a，bN，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”時，反設(shè)正確的是()Aa，b都不能被5整除 Ba，b都能被5整除Ca，b中有一個不能被5整除 Da，b中有一個能被5整除【答案】A.【解析】對原命題的結(jié)論的否定敘述是：a，b都不能被5整除4.設(shè)x，y，z都是正實數(shù)，ax，by，cz，則a，b，c三個數(shù)()A至少有一個不大于2B都小于2C至少有一個不小于2D都大于2【答案】 C【解析】 若a，b，c都小于2，則abc6，而abcxyz6，顯然矛盾，所以C正確5若 P，Q(a0)，則 P，Q的大小關(guān)系是()AP>QBPQCP<QD由a的取值確定【答案】C.【解析】 不妨設(shè)PQ，要證PQ，只要證P2Q2，只要證2a722a72，只要證a27aa27a12，只要證012，012成立，PQ成立6在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_【答案】等邊三角形【解析】由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形7.已知點An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_【答案】cn>cn1.【解析】由題意知，an，bnn，cnn.顯然，cn隨著n的增大而減小，cn>cn1. 8.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1； （3）.【證明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.（3）欲證，則只需證()23，即證abc2()3，即證1.又1，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”，原不等式成立9.等差數(shù)列的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列【解析】(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)10.已知f(x)x2axb.(1)求f(1)f(3)2f(2)(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.【解析】 (1)因為f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，所以f(1)f(3)2f(2)2.(2)證明：假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則<f(1)<，<f(2)<，<f(3)<.所以1<2f(2)<1，1<f(1)f(3)<1，所以2<f(1)f(3)2f(2)<2，這與f(1)f(3)2f(2)2矛盾，所以假設(shè)錯誤，即所證結(jié)論成立