新版【創(chuàng)新方案】高考數學理一輪知能檢測：第8章 第8節(jié)　曲線與方程

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2、 1 第八節(jié)　曲線與方程 [全盤鞏固] 1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲線的大致形狀是(圖中實線部分)(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 解析：選B　原方程等價于或x－y－1＝0，前者表示等軸雙曲線x2－y2＝1位于直線x－y－1＝0下方的部分，后者為直線x－y－1＝0，這兩部分合起來即為所求． 2．已知兩定點A(－2,0)，B(1

3、,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡是(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：選B　設P(x，y)，則＝2，整理得x2＋y2－4x＝0， 又D2＋E2－4F＝16>0，所以動點P的軌跡是圓． 3．(20xx·長春模擬)設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析： 選D　∵M為AQ垂直平分線上

4、一點，則|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故M的軌跡為橢圓．∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. 4．已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過B作垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析：選D　由已知得|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線． 5．(20xx·嘉興模擬)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：x(y－mx－m)＝0有三個不同的

5、公共點，則實數m的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(－，0)∪(0，) C. D.∪ 解析：選D　由x(y－mx－m)＝0可知x＝0，y＝m(x＋1)，當直線y＝m(x＋1)與圓x2＋y2－2x＝0相切時，m＝±，當m＝0時，只有兩個公共點，因此m∈∪. 6．(20xx·洛陽模擬)設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點．若＝2 ，且·＝1，則點P的軌跡方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y

6、2＝1(x>0，y>0) 解析：選A　設A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.點Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.將a，b代入上式得所求的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 7．設P是圓x2＋y2＝100上的動點，點A(8,0)，線段AP的垂直平分線交半徑OP于M點，則點M的軌跡為________． 解析： 如圖，設M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|PM|＝|OM|＋|AM|，即|O

7、M|＋|AM|＝10，也就是說，動點M到O(0,0)及A(8,0)的距離之和是10，故動點M的軌跡是以O(0,0)，A(8,0)為焦點，中心在(4,0)，長半軸長是5的橢圓． 答案：橢圓 8．直線＋＝1與x，y軸交點的中點的軌跡方程為________________． 解析：設直線＋＝1與x，y軸交點為A(a,0)，B(0，2－a)，A，B中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0， a≠2，∴x≠0，x≠1. 答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1) 9．點P是圓C：(x＋2)2＋y2＝4上的動點，定點F(2,0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點為Q，則點

8、Q的軌跡方程是________________． 解析：依題意有|QP|＝|QF|，∴||QC|－|QF||＝|CP|＝2， 又|CF|＝4>2，故點Q的軌跡是以C、F為焦點的雙曲線，a＝1，c＝2， ∴b2＝3，所求軌跡方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 10．(20xx·北京模擬)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|＋|PB|的值不變． (1)建立適當的坐標系，求曲線E的方程； (2)直線l：y＝x＋t與曲線E交于M，N兩點，求四邊形MANB的面積的最大值． 解：(1)以AB為x軸，以AB中點為原點O建

9、立直角坐標系， ∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋ ＝2， ∴動點P的軌跡為橢圓，且a＝，c＝1，從而b＝1.∴曲線E的方程為＋y2＝1. (2)將y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴ 由①得0≤t2<3，∴S四邊形MANB＝|AB||y1－y2|＝|y1－y2|＝|x1－x2|＝ ， 故當t＝0時，S四邊形MANB取得最大值，最大值為. 11．設橢圓方程為x2＋＝1，過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，l上的動點P滿足＝(＋)，點N的坐標為.當l繞點M旋轉時，求： (1)動點P的軌

10、跡方程； (2)||的最小值與最大值． 解：(1)直線l過點M(0,1)，當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設可得點A、B的坐標(x1，y1)、(x2，y2)是方程組的解．將①代入②并化簡得，(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以 于是＝(＋)＝＝. 設點P的坐標為(x，y)，則消去參數k得4x2＋y2－y＝0.③ 當直線l的斜率不存在時，AB的中點坐標為原點(0,0)，也滿足方程③， 所以動點P的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由點P的軌跡方程得x2＝，知x2≤，即－≤x≤. 所以||2＝2＋2＝2

11、＋－4x2＝－32＋. 故當x＝時，||取得最小值，最小值為； 當x＝－時，||取得最大值，最大值為. 12．(20xx·麗水模擬)如圖，已知點A(0,1)，點P在圓C：x2＋(y＋1)2＝8上，點M在AP上，點N在CP上，且滿足AM＝MP，NM⊥AP，設點N的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)過原點且斜率為k(k＞0)的直線交曲線E于G，F兩點，其中G在第一象限，它在y軸上的射影為點Q，直線FQ交曲線E于另一點H，證明：GH⊥GF. 解：(1)連接NA，由題意知NM為AP的垂直平分線， ∴|NA|＝|NP|， 又∵|CN|＋|NP|＝2， ∴|CN|＋|NA|＝

12、2＞2. ∴動點N的軌跡是以點C(0，－1)，A(0,1)為焦點的橢圓， 且長軸長2a＝2，焦距2c＝2， ∴a＝，c＝1，b2＝1， ∴曲線E的方程為x2＋＝1. (2)證明：設G(x1，kx1)，H(x2，y2)， 則F(－x1，－kx1)，Q(0，kx1)， 直線FQ的方程為y＝2kx＋kx1， 將其代入橢圓E的方程并整理可得 (2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－2＝0. 依題意可知此方程的兩根為－x1，x2， 于是由韋達定理可得－x1＋x2＝－，即x2＝. 因為點H在直線FQ上， 所以y2－kx1＝2kx2＝. 于是GF―→＝(－2x1，－2k

13、x1)，GH―→＝(x2－x1，y2－kx1)＝， 則GF―→·GH―→＝＝0，所以GH⊥GF. [沖擊名校] (20xx·四川高考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且＝＋，求點Q的軌跡方程． 解：(1)由橢圓定義知， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝2， 所以a＝.又由已知c＝1， 所以橢圓C的離心率e＝＝＝. (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1.設點Q的坐標為(x，y)． ①當直線

14、l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點， 此時點Q的坐標為. ②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2. 因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.由＝＋，得＝＋，即＝＋＝.①將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化簡，得x2＝.③ 因為點

15、Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡，得10(y－2)2－3x2＝18. 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪. 又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2，有(y－2)2∈，且－1≤y≤1，則y∈. 所以點Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. [高頻滾動] 已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點，且被圓C所截得的弦長為，點A(3,1)在橢圓E上． (1)求m的值及橢圓

16、E的方程； (2)設Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍． 解：(1)因為直線4x－3y－16＝0被圓C所截得的弦長為， 所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離為＝，即＝，解得m＝4或m＝－4(舍去)． 又直線4x－3y－16＝0過橢圓E的右焦點，所以橢圓E的右焦點F2的坐標為(4,0)，則其左焦點F1的坐標為(－4,0)． 因為橢圓E過A點，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，所以2a＝5＋＝6， 所以a＝3，a2＝18，b2＝2，故橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)， 設Q(x，y)，則＝(x－3，y－1)， 則·＝x＋3y－6.令x＋3y＝n，則 消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0. 因為直線x＋3y＝n與橢圓E有公共點， 所以Δ＝(－6n)2－4×18×(n2－18)≥0，解得－6≤n≤6， 故·＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0].