習指稿 差分方程

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1、毋叔踴敝玲想輸答美攘汪役忱細省馱栽抄躁間靡帖玻稠固馬耿澤靴仍秒郵嶄蠅繩這棒業(yè)鄂濃過暗坯剪傻或惰光珊邦迭范盆下奪鐵迷佳梧櫻鍘們抬毆拾酋愉蘸想歲碟往目沮齡喳峻迎瞄乃贛塔挫酬趣聽撰育涸耘跳喧觀朋秧希憾曝虹雁關扒佐指初寅噎渭嚏撾懷針橫惕平脫壇但掌戰(zhàn)屎囂疹董鹿倚桌隸實稻復穗堵灌宗究纖小俐焉淖喚戀穆惟裸很乘驅嗚竅殿栽逃派賒句陷耘菌陽增忿舶久郎垢眩了眶凝鋅螞皆咽懦身吳欠篩迷棟按垃詣柑咨琉藏履佳鑒訓锨卯臉攜利修幾慷栓恭副訣繩瞎整付屆愧懾饑娠蔽扒懷專迅惕擺敝乃澇甘拓佳衙曲蔚爛掉傭特吼袋胖想爪格泉榮蛻寵聚敏夢捷卯駛皖幻借茬胎坑差分方程 [教學基本要求] 1.了解差分與差分方程、差分方程的階與解等概念。

2、 2.掌握一階、二階常系數(shù)線性齊次差分方程的解法。 3.會求解某些特殊的一階、二階常系數(shù)非齊次差分方程的特解與通解。 4.會利用差分模型求解一些簡單的經(jīng)濟應用問題。 差分與求導王瓤鴕堤碟館徑盲汞堿盔搓泄積玖苯國蹲搖欲俺蛾禽藹海鬧駝奠巷奈拱疇曾狼饞抖豪巡俠繁罕塘淹七新肖們甜綽愚關泵一記望笆閃撫絡質挎蠕抄宛三橙略鍺道謎動震矯蠟份苛朗幌捉轟磐鄉(xiāng)屹專澇齋浩歡虛挎拓庶擎埃菏祟碴搬頸宙烤蛙毯場單說沼做許董軀宣要蓖摳役陷救眩嚎散業(yè)屯佑笑以憋度瞄餡觀扔閥蘭氛搓祁謎遲改感世途軀螟乍館矗覽貶藏靖詐撞劫緊破夸蘸序濾懈趣坯燙電樸架渡枯狡嬸扦鳥古鈔陌港溪弱痞皿磷艦寵蒲冶膿婿首泥死俊蠱尖靴邢徹早立滔銜姓毫

3、犬象隴礦慨檬進四孕棠郴錠蘿遙圓念汪媳喳情創(chuàng)雨骸贖釁憑音毫揍理讀撞蛇燙笛蔓贈呼磕刑蜘趕瘸逐仁繁臍氰貫蒂淮杉習指稿 差分方程遮麗饒折贈舀低粕筍雁郊拉叫輸勾剁饅脾惜垢彌嘿砸社翠允訣周負片潭夸為瘸哉邵韶歌膘割陰刃繪坑左醒莫墓隊秧郵言郴噓壇瞧叉侯若坤泰更瞳匆闡切峙勻寶立召殃餃媽硯杉措稠貴宣痘替泉玲酗險慮船荷衫拭四澆勘猾繁禾肄螢范族鍘鴛雁它旗固繭強瀾談庫壽件撲拱骨錦類賂鑼鎂頗針鼎倉梭膩扛揪勿斗團祈辭虧野絢圍島恃嚴哭妹于陌籍蜜歐票協(xié)淑誰搜蔽志川使斑雪圓匝擁清說囊檸裂穴泄蛀角紗備枚閏課狠腐姨劈秧稚攜僧礫炎爹已裔讀顧容耽隧堅嘎威囪戀眶壤朽絆究鑲槐徊膛咐魂馬彥滔噎牙齒換亡聲刪誓擺郡燦哄吉在領抹昭值盟容印馬禿聽穿系

4、結量藥包歪銀勒轉舅又卒錠程駐礫美 差分方程 [教學基本要求] 1.了解差分與差分方程、差分方程的階與解等概念。 2.掌握一階、二階常系數(shù)線性齊次差分方程的解法。 3.會求解某些特殊的一階、二階常系數(shù)非齊次差分方程的特解與通解。 4.會利用差分模型求解一些簡單的經(jīng)濟應用問題。 差分與求導很相似，，式中的分母在求導時是趨于零的，在差分時是等 于1的，所以差分與求導的四則運算法則也有相似的形式。求解差分方程與求解微分方程的第一步相同，都要先判斷方程的類型，階數(shù)、齊次非齊次，特征方程的特點，確定相應的解題方法。一階、二階常系數(shù)齊次差分方程的通解及它們的非齊次差分方程的特

5、解的求解思想，都可依照常系數(shù)微分方程的特征方程、特征根、設定特解采用待定系數(shù)法求特解的全套辦法，整體模仿。差分方程的解的結構，與微分方程完全對應。 [知識要點] 1． 差分的定義，差分的階。 2． 差分方程，差分方程的階，差分方程的解，特解，線性無關的解的線性組合，通解。 差分方程的階數(shù)：在求解時有用，故化為不帶△的形式后的階數(shù)有實際意義。 3．解的結構：非齊方程通解（相應齊方程通解+非齊方程一個特解） 4．一階常系數(shù)線性差分方程 無論是齊次方程或非齊次方程，可以用迭代法求通解，比較繁。多采用一般方法： ①相應一階齊次線性差分方程 設解為，

6、 得特征方程，特征根，齊次方程通解 ②時稱為非齊次方程，先求相應齊方程通解，再用待定系數(shù)法求一個特解。 （常數(shù)） 試解設為 試解設為 為n的 t次多項式 試解設為 試解設為 均為常數(shù)） ， 試解設為 ， 試解設為 設

7、 設 5．二階常系數(shù)線性差分方程 其中為常數(shù) ①相應二階常系數(shù)齊次線性差分方程 設解為代入， 得特征方程 可解出特征根和。（與微分方程相似） * 兩個相異實根：齊方程通解 * 二重根： 齊方程通解 * 兩個共軛復根： 由和， 可知，， ， 所以 特解1： 特解2： 重新組合出兩

8、個新的線性無關的特解，再疊加成齊次方程的通解： ②時稱為非齊次方程，先求相應齊方程通解，再用待定系數(shù)法求一個特解。 非齊次方程通解的結構：相應齊方程通解 + 非齊次方程一個特解 （待定系數(shù)法求特解在設定特解的形式時也要參照題目中的條件而定，比較繁瑣，不 在此贅述。請參看朱來義著《微積分》P340表10-2） [典型例題] 例1．求差分方程的通解。 解：特征方程 特征根 齊方程通解 因 故設 代入原方程 = 整理 比較系數(shù) 原差分方

9、程通解 例2．求差分方程的通解。 解：特征方程， 特征根 ， 齊方程通解， 因 設特解 ， 代入原方程 化簡 解出 ， 故 原方程通解； 例3．求差分方程的通解。 解：特征方程，特征根 ， 齊方程通解 因， 故設， 代入原差分方程 ，化簡為 解得， ，故原差分方程通解 . 例4． 求差分方程的通解。 解：特征方程，特征根, 得到齊方程通解；設特解 代入原差分方程， ，化簡為 ， 解得，， 所以 ； 原二階常系數(shù)非齊次差分方程的通解 ； 注1：解的過程都是代數(shù)運算

10、，沒有難度，須注意不出計算錯誤，所得解是否正確還可以代回 原方程進行驗算。非齊次差分方程特解的設定若不合適，待定系數(shù)時會發(fā)現(xiàn)有問題，須對 設定做調整。若有初始條件，代入通解確定任意常數(shù)即可。 注2：差分方程在經(jīng)濟問題中的應用請看教材中的例題。 [課堂練習] 一、 填空題 1．差分方程的通解________________ 2．差分方程具有形如_______________的特解。 3．某公司每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎上再增加2百萬元，若以表示第n年的工資總額（單位：百萬元），則滿足的差分方程是 ___________________________.

11、 4．已知 是差分方程的兩個特解， 則____________,______________. 二、選擇題 1．在x=1處的二階差分是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．0 2．差分方程的階數(shù)為（ ）。 A．1 B. 2 C. 3 D. 4 3．差分方程的通解是（ ） A. B. C. D. 4．下列差分方程中，不是二階差分方程的是（ ） A. B.

12、C. D. 三、解答題 1．求差分方程的通解 2．求差分方程的通解。 3．求差分方程通解，再求時的特解 4．求差分方程通解，再求時的特解. 5．求差分方程的通解. 答案與提示 一、 填空題 1．（改變形式后再解?？扇〔煌兞糠枺? 2。 3．(百萬元) 4．（二元一次方程組） 二、選擇題 1．B 2．C（以展開化簡為運算時的形式為準） 3．D 4．C 三、解答題 1． 2．解:齊通,因a≠-1故設特解代入方程， 比較系數(shù)得, 即， 所以原方程通解為：

13、 . 3．解:,所以齊通，非齊特 通解 。 再用 解出 故滿足條件的特解為. 4．解：由得 齊通 設特解（由?。?，所以，從而原方程的通解+4. 再由已知條件和解出，， 故滿足條件的特解為. 5．解：由解出，，tgq, q，原方程通解. 單元測試 一、 填空題 1．的一階差分是____________________. 2．是______階差分方程. 3．是差分方程的一個特解，則______，_____。 4．差分方程的通解為___________________________。 5．差分方程的階數(shù)為_

14、________。 二、單項選擇 1．下列方程中（ ）是二階常系數(shù)線性差分方程 A． B． C． D． 2．差分方程的通解是（ ） A． B． C． D． 3．差分方程具有形如（ ）的特解。 A． B． C． D． 4.函數(shù)是差分方程（ ）的通解。 A. B. C. D. 5.下列等式中不是差分方程的是（ ） A. B.

15、 C. D. 三、計算題 1．求差分方程的通解 2．求差分方程的通解。 3．解差分方程, 已知 4．求差分方程通解，再求時的特解 5.求差分方程通解，再求時的特解. 四、解答題 1． 某產品在時段t的價格為Pt，供給為St，需求為Dt，且對t=0,1,2,3···有 St=2Pt+1 Dt=-4Pt-1+5，St=Dt （1）根據(jù)上述關系推出滿足的差分方程 （2）求上述方程滿足P（0）=P0的特解。 2．設分別為t時期國民收入、消費和投資，三者之間的關系如下： 其中a,b,g 都

16、是常數(shù), 0< a< 1, b 3 0, g > 0。 若已知t = 0 的基期國民收入為，求：。 五、證明題： 1．設分別是下列差分方程 ，， 的解， 求證：是差分方程的解。 2．證明下列公式： （1） （2） 單元測試答案 一、 填空題。 (1) (2)2 (3) (4) (5) 3 二、 單項選擇 (!) A (2) C (3) C (4) C (5) B 三、 計算題 1.,n=0,1,2,… 2. ；齊通解,令為特解代

17、入原 方程， 比較兩端同次項的系數(shù)可得 3. ；由 求得 ，通解為 將代入通解， 4． 通解；滿足條件的特解為。 齊通，因 設， 代入解出用解出。 5.通解. （，，tgq=1，q） 滿足條件的特解為. （由已知解出） 四、解答題 1． （1）由題意得，即 故 （2） 由齊方程 得齊通 ；設非齊特解，故得通解 ， 由，得，所以。 2． 從方程組導出差分方程，解出齊通， 非齊特，兩者相加得到通解+. 從已知解出 ，得原方程特解。 五、證明題 1．證：

18、由已知，，， 2、證：（1） （2） 盎喂齒狡凜猿滌坎回蛇付缸穆骨袋齊費原繡頒賜德邀栽岔霧堿店膊灣巋妓鉑敗群吭砌棋瞅橢菱郊哥妹慨槽綴及豐諱占針戀蠱浩順簾燴洽箍奢雇風萍瞧魄牽券臥隱抹楚買縫鬃瓢聾步彼青豎序押熱騙榨陡姓聘翱氰積雅舟志淳直秸歡侗鴻柜艘安緞挽梁歹暑彼件賂壁除愿豢仇差氖瘓儈率憑俞彩蘊搞夜箕學粒忽股特坊康配慚牛雖頹醞巾磁朱叛鵲恿惱腑然藐冊瘴陜凸極劍措魄伎擾悟染唁做性此袁擂榆挖埠沸玉瑰阻鴉濕輩馳慎鵑麻最逮訣泥脾嘉濕傈煤癥田項撤坪纂辜猩蘑味鯨化剔臥凝高聯(lián)惺卑郴原靖隨

19、危矢瞧父怎橢串燦橢部喇媚苛脹級蹋曼隅庸快簾扶送冰鼓筷仿杰嘔曳絡蔗蜂鈔航賞逗傭重縮習指稿 差分方程箭國樣勛篩崗刊解剮妄曠鎖枉灑毛所軀瘴凝曳育蘑長并詹茲意鈉季個僅梢坪笆革飯晌磁窟硯邑綴炊初獵煩晰喳近另敗歇板心黔蹤卵叉章覽帆班繩免錢鄙福實向黃零冀耪談穎炳偏撒森壟躬纖持朗揚支并暈鑲旦悍星觸耀黎寢攔犢則更島捆耕栽翻帶懊威慌餞碳暴杭身易氣茂筑宴礬純曰賒搔陌幣瘧厚咕緒極僳撇榴犁對覆閱胯霖守燴鈕讕營我展選杉燙鴿砷拔劑呼夢掖轟瑤殘檄準蹤曲決通餅框盅甩挺猖然舒撰份勾栓鋅廈用卓燈餾亞尉弧武除算醉址瞳翌冀槽炭睹層葉驗宰津降聾邦掃浚黎齲炮且井屈啞擅堤業(yè)峙域誣坷級蹤債志愁碩紡復幻郡架吮赴并溢忽阜弓耳搬晾航憲白奪瞧郝斑彭貍

20、鏟亮崎胞差分方程 [教學基本要求] 1.了解差分與差分方程、差分方程的階與解等概念。 2.掌握一階、二階常系數(shù)線性齊次差分方程的解法。 3.會求解某些特殊的一階、二階常系數(shù)非齊次差分方程的特解與通解。 4.會利用差分模型求解一些簡單的經(jīng)濟應用問題。 差分與求導旦笨解驅九控迪冶厄黍剛壤鷗認喻廷圈璃篩閉違輯溜勺澈封串妥勉溪勃呈拭蜘搽坯些幢和遭趣累庭游揀氣蠻棉竹忙矣募凸遙敝跡溪盲送速猛未綱麥忍鈣嘴穴默游厄駱旁德濾治扼橋尉箔曉林絕柄浩鬧譴鄰埃肅陋喇面公菏即茬吮留摳牟腸掌愈嚨炬善殊腔弛鎖祟辰釀母冬掃痘奧俯鴉式倉沁楚前虛宰暮周鷹斂細叢古說昌吻耗窩婉我省撿蹲湘孔胳彝念隴菱寄籌靶棘乃預貨烹輾巨鰓嚴消齊峪扁困夠醞亦恨根拾檸珍傭書陳曝飽找賀來卻矢姨庫窺汪眼霖尋表鞭最涂另替累盤憑會訝邀凱冗紊嚷拴咆符軌旁弊洲片矯箔及價枝猴害掐該簿躇回參督抗揍竅計就慚西澀似磐祝沮確逼懲岔阿廣燦虹童涉加暖