(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖講義(含解析).docx
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8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 最新考綱 考情考向分析 1.了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念,理解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征. 2.了解簡(jiǎn)單組合體,了解中心投影、平行投影的含義. 3.了解三視圖和直觀圖間的關(guān)系,掌握三視圖所表示的空間幾何體.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖. 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查.主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積.對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查,以選擇題和填空題為主. 1.多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 棱錐 棱臺(tái) 圖形 結(jié)構(gòu)特征 有兩個(gè)面互相平行且全等,其余各面都是平行四邊形. 每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行 有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)但不一定相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形 2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 圖形 母線 互相平行且相等,垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓 側(cè)面展開(kāi)圖 矩形 扇形 扇環(huán) 3.三視圖與直觀圖 三視圖 畫(huà)法規(guī)則:長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等 直觀圖 斜二測(cè)畫(huà)法:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45或135,z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直. (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸,平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半. 概念方法微思考 1.底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎,為什么? 提示 不一定.因?yàn)榈酌媸钦噙呅蔚闹崩庵攀钦庵? 2.什么是三視圖?怎樣畫(huà)三視圖? 提示 光線自物體的正前方投射所得的正投影稱為正視圖,自左向右的正投影稱為側(cè)視圖,自上向下的正投影稱為俯視圖,幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為三視圖.畫(huà)幾何體的三視圖的要求是正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正;正視圖與側(cè)視圖高平齊;側(cè)視圖與俯視圖寬相等. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.( ) (2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.( ) (3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分.( √ ) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同.( ) (5)用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.( ) (6)菱形的直觀圖仍是菱形.( ) 題組二 教材改編 2.[P19T2]下列說(shuō)法正確的是( ) A.相等的角在直觀圖中仍然相等 B.相等的線段在直觀圖中仍然相等 C.正方形的直觀圖是正方形 D.若兩條線段平行,則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行 答案 D 解析 由直觀圖的畫(huà)法規(guī)則知,角度、長(zhǎng)度都有可能改變,而線段的平行關(guān)系不變. 3.[P8T1]在如圖所示的幾何體中,是棱柱的為_(kāi)_______.(填寫(xiě)所有正確的序號(hào)) 答案?、邰? 題組三 易錯(cuò)自糾 4.某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是( ) A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱 答案 A 解析 由三視圖知識(shí)知,圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形,而圓柱的正視圖不可能為三角形. 5.如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖是( ) 答案 C 解析 此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看.故選C. 6.(2018浙江諸暨中學(xué)期中)邊長(zhǎng)為2的正方形,其水平放置的直觀圖的面積為( ) A.B.1C.2D.8 答案 C 解析 正方形的邊長(zhǎng)為2,故面積為8,而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為=,故直觀圖的面積為8=2. 7.(2018全國(guó)Ⅰ)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如下圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為( ) A.2B.2C.3D.2 答案 B 解析 先畫(huà)出圓柱的直觀圖,根據(jù)題中的三視圖可知,點(diǎn)M,N的位置如圖①所示. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M,N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示,連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑.|ON|=16=4,|OM|=2, ∴|MN|===2.故選B. 題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1.以下命題: ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐; ②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái); ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面; ④一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái). 其中正確命題的個(gè)數(shù)為( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知①②錯(cuò)誤,③正確.對(duì)于命題④,只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái),④不正確. 2.給出下列四個(gè)命題: ①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱; ②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐; ③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體; ④底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正確的命題為_(kāi)_______.(填序號(hào)) 答案?、佗冖? 解析 對(duì)于①,平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形,故①錯(cuò);對(duì)于②,對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖),故②錯(cuò);對(duì)于③,若底面不是矩形,則③錯(cuò);④由線面垂直的判定,可知側(cè)棱垂直于底面,故④正確. 綜上,命題①②③不正確. 思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法 (1)定義法:緊扣定義,由已知構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,根據(jù)定義進(jìn)行判定. (2)反例法:通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析. 題型二 簡(jiǎn)單幾何體的三視圖 命題點(diǎn)1 已知幾何體識(shí)別三視圖 例1(2018全國(guó)Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( ) 答案 A 解析 由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示,由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. 命題點(diǎn)2 已知三視圖,判斷簡(jiǎn)單幾何體的形狀 例2如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是( ) A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 答案 B 解析 由題意知,該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形,經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱. 命題點(diǎn)3 已知三視圖中的兩個(gè)視圖,判斷第三個(gè)視圖 例3一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,下列選項(xiàng)中,不可能是該錐體的俯視圖的是( ) 答案 C 解析 A,B,D選項(xiàng)滿足三視圖作法規(guī)則,C不滿足三視圖作法規(guī)則中的寬相等,故C不可能是該錐體的俯視圖. 思維升華三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)注意觀察方向,看到的部分用實(shí)線表示,不能看到的部分用虛線. (2)還原幾何體.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖,結(jié)合空間想象還原. (3)由部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖.先猜測(cè),還原,再判斷.當(dāng)然作為選擇題,也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入. 跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018杭州模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BD1的中點(diǎn),則△PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 解析 P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上,所以△PAC在上底面或下底面的投影為①,在前、后面以及左、右面的投影為④. (2)(2018寧波模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是( ) 答案 C 解析 該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P—ABCD,如圖所示,該幾何體的俯視圖為C. 題型三 空間幾何體的直觀圖 例4已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______. 答案 解析 如圖所示,作出等腰梯形ABCD的直觀圖. 因?yàn)镺E==1,所以O(shè)′E′=,E′F=, 則直觀圖A′B′C′D′的面積S′==. 思維升華用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧 在原圖形中與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行,不平行的線段先畫(huà)線段的端點(diǎn)再連線. 跟蹤訓(xùn)練2如圖,一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測(cè)畫(huà)法)是一個(gè)底角為45、腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形,則這個(gè)平面圖形的面積是( ) A.2+ B.1+ C.4+2 D.8+4 答案 D 解析 由已知直觀圖根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出原平面圖形,如圖所示,所以這個(gè)平面圖形的面積為=8+4,故選D. 1.在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水,將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí),指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是( ) A.圓面 B.矩形面 C.梯形面 D.橢圓面或部分橢圓面 答案 C 解析 將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面,所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面,故選C. 2.如圖所示,四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形,起輔助作用),則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)( ) A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ 答案 B 解析 正視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和4的矩形,其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線,左上到右下是虛線,因此正視圖是①,側(cè)視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為5和4的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此側(cè)視圖是②;俯視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和5的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此俯視圖是③. 3.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是( ) A.圓柱 B.圓錐 C.球體 D.圓柱、圓錐、球體的組合體 答案 C 解析 截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體. 4.某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示,則它的俯視圖不可能是( ) 答案 C 解析 若幾何體為兩個(gè)圓錐體的組合體,則俯視圖為A;若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體,則俯視圖為B;若幾何體為兩個(gè)四棱錐的組合體,則俯視圖為D;不可能為C,故選C. 5.(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)若將正方體(如圖1)截去兩個(gè)三棱錐,得到如圖2所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖是( ) 答案 B 解析 從左向右看,該幾何體的側(cè)視圖的外輪廓是一個(gè)正方形,且AD1對(duì)應(yīng)的是實(shí)線,B1C對(duì)應(yīng)的是虛線.故選B. 6.(2011浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( ) 答案 D 解析 A,B的正視圖不符合要求,C的俯視圖顯然不符合要求,故選D. 7.(2019臺(tái)州模擬)已知底面是直角三角形的直棱柱的正視圖、俯視圖如下圖所示,則該棱柱的側(cè)視圖的面積為( ) A.18 B.18 C.18 D. 答案 C 解析 設(shè)側(cè)視圖的長(zhǎng)為x,則x2=63=18,∴x=3. 所以側(cè)視圖的面積為S=36=18.故選C. 8.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是( ) A.直角三角形 B.等邊三角形 C.正方形 D.正六邊形 答案 A 解析 用一個(gè)平面去截正方體,則截面的情況為: ①截面為三角形時(shí),可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形,但不可能是鈍角三角形、直角三角形; ②截面為四邊形時(shí),可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形、正方形,但不可能是直角梯形; ③截面為五邊形時(shí),不可能是正五邊形; ④截面為六邊形時(shí),可以是正六邊形. 9.(2018湖州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為( ) A.B.2C.3D.2 答案 C 解析 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,M,N分別為AD,BC的中點(diǎn),該幾何體的直觀圖如圖中三棱錐D1—MNB1,故通過(guò)計(jì)算可得D1B1=2,D1M=B1N=,MN=2,MB1=ND1=3,故該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為3. 10.一水平放置的平面四邊形OABC,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示,此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,則原平面四邊形OABC的面積為_(kāi)_______. 答案 2 解析 因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的倍,且直觀圖的面積為1,所以原圖形的面積為2. 11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為_(kāi)_______. 答案 1 解析 如題圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖都是三角形,且面積都是a2,故面積的比值為1. 12.給出下列命題: ①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形; ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直; ③在四棱柱中,若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱; ④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體. 其中正確命題的序號(hào)是________. 答案 ②③④ 解析?、俨徽_,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;②正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個(gè)側(cè)面所在的三個(gè)平面的二面角都是直二面角;③正確,因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;④正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個(gè)面都是直角三角形. 13.如圖,在一個(gè)正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O1,O2,這兩個(gè)球外切,且球O1與正方體共頂點(diǎn)A的三個(gè)面相切,球O2與正方體共頂點(diǎn)B1的三個(gè)面相切,則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是( ) 答案 B 解析 由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切.由于兩球球心連線AB1與面ACC1A1不平行,故兩球球心射影所連線段的長(zhǎng)度小于兩球半徑的和,即兩個(gè)投影圓相交,即為圖B. 14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在學(xué)術(shù)研究中,不迷信古人,堅(jiān)持實(shí)事求是.他對(duì)《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”給出的公式產(chǎn)生質(zhì)疑,為了證實(shí)自己的猜測(cè),他引入了一種新的幾何體“牟合方蓋”:以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底做兩次內(nèi)切圓柱切割,然后剔除外部,剩下的內(nèi)核部分.如果“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖都是圓,則其俯視圖的形狀為( ) 答案 B 解析 由題意得在正方體內(nèi)做兩次內(nèi)切圓柱切割,得到的幾何體的直觀圖如圖所示,由圖易得其俯視圖為B,故選B. 15.(2018嘉興模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是( ) A.圓弧 B.拋物線的一部分 C.橢圓的一部分 D.雙曲線的一部分 答案 D 解析 根據(jù)幾何體的三視圖,可得側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得,故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分,故選D. 16.(2018臺(tái)州模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)是________. 答案 解析 由三視圖可知,該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中三棱錐M—A1B1N,如圖所示,M是棱AB上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),N是棱C1D1的中點(diǎn),所以 A1B1=2,A1N=B1N==, A1M==, B1M==, MN==, 所以該幾何體中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)是.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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