新編高三數(shù)學(xué) 第20練 導(dǎo)數(shù)中的易錯(cuò)題

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1、 第20練 導(dǎo)數(shù)中的易錯(cuò)題 訓(xùn)練目標(biāo) (1)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的細(xì)化、深化、鞏固提高；(2)解題過程的細(xì)節(jié)訓(xùn)練． 訓(xùn)練題型 (1)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍；(3)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 解題策略 (1)注意f′(x0)＝0是x＝x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件；(2)已知單調(diào)性求參數(shù)范圍要注意驗(yàn)證f′(x)＝0的情況. 一、選擇題 1．如果f′(x)是二次函數(shù)，且f′(x)的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，那么曲線y＝f(x)上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角α的取值范圍是(　　) A．(0，] B．[，) C．(，] D．[，π) 2．(20xx·福建福州

2、三中月考)已知點(diǎn)A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點(diǎn)A的曲線C： y＝f(x)的切線方程是(　　) A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0 C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0 3．(20xx·蘭州診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P是曲線C：xy＝1(x>0)上任意一點(diǎn)，l是曲線C在點(diǎn)P處的切線，且l交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．△OAB的面積為定值2 B．△OAB的面積有最小值3 C．△OAB的面積有最大值4 D．△OAB的面積的取值范圍是[3,4] 4．若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定

3、義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2) 5．若函數(shù)y＝x3－3ax＋a在(1,2)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．14或a<1 6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋2 (a>0)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都在區(qū)間(－1,1)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,2] B．(0,2) C．[，2) D．(，2) 7．如果函數(shù)f(x)＝x3－x滿足：對于任意的x1，x2∈[0,2]，都有

4、|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－，] C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．(－∞，－]∪[，＋∞) 8．(20xx·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)已知f(x)＝ax＋＋2－2a(a>0)，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、填空題 9．若函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________． 10．函數(shù)f(x)＝ax－cosx，x∈[，]，若?x1，x2∈[，]

5、，x1≠x2，<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 11．若函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍為________． 12．已知函數(shù)f(x)＝(a>0)，若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.  答案精析 1．B　[根據(jù)已知可得f′(x)≥，即曲線y＝f(x)上任意一點(diǎn)的切線的斜率k＝tan α≥，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，可知α∈[，)，故選B.] 2．D　[由于點(diǎn)A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若點(diǎn)A為切點(diǎn)，則切線斜率為6，若點(diǎn)A不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m3)，則

6、切線的斜率為k＝6m2.由兩點(diǎn)的斜率公式，得＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0， 解得m＝1(舍去)或m＝－.綜上，切線的斜率為k＝6或k＝6×＝， 則過點(diǎn)A的曲線C：y＝f(x)的切線方程為y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)， 即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故選D.] 3．A　[由題意，得y＝.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)，y0＝，y′＝－，因此切線的斜率k＝－，切線方程為y－y0＝－(x－x0)．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝y(tǒng)0＋＝；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝xy0＋x0＝2x0，因此S△OAB＝xy＝2為定值．故選A.] 4．B　[∵f(x)＝2x2－lnx(x>0)，

7、 ∴f′(x)＝4x－＝(x>0)， 由f′(x)＝0，得x＝， 當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 據(jù)題意， 解得1≤k<.] 5．B　[y′＝3x2－3a，當(dāng)a≤0時(shí)，y′≥0， 函數(shù)y＝x3－3ax＋a為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)a>0時(shí)，y′＝3x2－3a＝0?x＝±，不難分析，當(dāng)1<<2，即10， 解得

8、∵f′(x)＝x2－1，∴當(dāng)00， ∴f(x)＝x3－x在x＝1時(shí)取到極小值，也是x∈[0,2]上的最小值， ∴f(x)極小值＝f(1)＝－＝f(x)最小值， 又∵f(0)＝0，f(2)＝， ∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝，∵對于任意的x1，x2∈[0,2]， ∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立， ∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝－(－)＝即可， ∴a≥或a≤－.故選D.] 8．B　[f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立

9、．設(shè)g(x)＝f(x)－2ln x＝ax＋＋2－2a－2ln x，則g′(x)＝a－－＝. 令g′(x)＝0，則x＝1或x＝.由于g(1)＝0，a>0，因此≤1(否則是g(x)的極小值點(diǎn)，即g()0)．∵函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線， ∴方程＋a＝2在區(qū)間(0，＋∞)上有解，即a＝2－在區(qū)間(0，＋∞)上有解， ∴a<2.若直線2x－y＝0與曲線f(x)＝lnx＋ax相切，設(shè)切點(diǎn)為(x0,2x0)，則 解得x0＝e，a＝2－. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范

10、圍是(－∞，2－)∪(2－，2)． 10．(－∞，－] 解析　由<0知，函數(shù)f(x)在[，]上是減函數(shù)．又f′(x)＝a＋sin x，所以f′(x)≤0在[，]上恒成立，即a≤－sin x在[，]上恒成立．當(dāng)≤x≤時(shí)，－≤－sin x≤－， 故－sin x的最小值為－，所以a≤－. 11．(－∞，0) 解析　由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，則f′(x)>0恒成立，此時(shí)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，不滿足題意；若a<0，由f′(x)>0得－，即故當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－), ( ，＋∞)，滿足題意． 12．(0,1] 解析　f′(x)＝＝，由題意f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．又a>0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0