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第21講 不等式選講
1.[2017全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.
[試做]
命題角度 含絕對值的不等式的解法
含絕對值不等式的解題策略:
關鍵一:運用分類討論思想,根據(jù)零點分區(qū)間討論;
關鍵二:運用數(shù)形結合思想,利用絕對值的幾何意義求解.
2.[2017全國卷Ⅱ] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
[試做]
命題角度 不等式的證明
不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.
3.[2016全國卷Ⅲ] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設函數(shù)g(x)=|2x-1|,當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
[試做]
命題角度 關于含絕對值不等式的恒成立問題
解決恒成立問題主要利用轉化思想,其思路為:
①f(x)>a恒成立?f(x)min>a;
②f(x)
a有解?f(x)max>a;
④f(x)a無解?f(x)max≤a;
⑥f(x)0.
(1)當a=3時,求不等式f(x)≥5x+1的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.
[聽課筆記]
【考場點撥】
高考?？嫉暮薪^對值的不等式的解法:
(1)利用零點分區(qū)間討論法.以絕對值的零點為分界點,將數(shù)軸分成幾個區(qū)間,運用分類討論思想對每個區(qū)間進行討論.
(2)利用絕對值的幾何意義求解.即運用數(shù)形結合思想,將絕對值不等式與在數(shù)軸上的距離(范圍)問題結合.解題時強調函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想的靈活應用.
(3)構造函數(shù)去解決.一般是把含有絕對值的式子構造為一個函數(shù),剩余的部分構造成另一個函數(shù),畫出函數(shù)圖像,利用數(shù)形結合的方法解決問題.
【自我檢測】
已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|.
(1)當m=-1時,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含34,2,求實數(shù)m的取值范圍.
解答2不等式的證明
2 已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-4|.
(1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,設m的最大值為m0,a,b,c均為正實數(shù),當3a+4b+5c=m0 時,證明:a2+b2+c2≥12.
[聽課筆記]
【考場點撥】
高考中不等式證明的關注點:
不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中以比較法和綜合法最為常見,反證法和分析法也是我們常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是證明不等式的利器,又是求二元變量關系式最值的法寶.
【自我檢測】
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-5|.
(1)解關于x的不等式f(x)>6;
(2)記f(x)的最小值為m,已知實數(shù)a,b,c 都是正實數(shù),且1a+12b+13c=m4,求證:a+2b+3c≥9.
解答3含絕對值不等式的恒成立問題
3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|2x-2|.
(1)求不等式f(x)+1>0的解集;
(2)當x∈R時,f(x)<-x+a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[聽課筆記]
【考場點撥】
利用絕對值不等式恒成立求參數(shù)的值或范圍,一般采用分離參數(shù)法,然后使用結論:(1)如f(x)>g(a)恒成立,則轉化為f(x)min>g(a);(2)如f(x)1時,①式化為x2+x-4≤0,從而11時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).
考點考法探究
解答1
例1 解:(1)當a=3時,不等式f(x)≥5x+1即|2x-3|+5x≥5x+1,即|2x-3|≥1,解得x≥2或x≤1,
∴不等式f(x)≥5x+1的解集為{x|x≤1或x≥2}.
(2)由f(x)≤0得|2x-a|+5x≤0,
即x≥a2,7x-a≤0或x0,∴不等式f(x)≤0的解集為xx≤-a3,
由題意得-a3=-1,解得a=3.
【自我檢測】
解:(1)當m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|.
①當x≥1時,f(x)=3x-2≤2,此時1≤x≤43;
②當126得
x<1,1-x+5-x>6或1≤x≤5,x-1+5-x>6或x>5,x-1+x-5>6,
解得x<0或x>6,
所以不等式f(x)>6的解集為(-∞,0)∪(6,+∞).
(2)證明:由f(x)=|x-1|+|x-5|≥|x-1-(x-5)|=4(當且僅當1≤x≤5時取等號),
得f(x)min=4,即m=4,從而1a+12b+13c=1,
所以a+2b+3c=1a+12b+13c(a+2b+3c)=3+a2b+2ba+a3c+3ca+2b3c+3c2b≥9(當且僅當a=2b=3c=3時取等號).
解答3
例3 解:(1)當x≤1時,f(x)=x,
∴f(x)+1>0即為x+1>0,解得x>-1,此時-10即為-3x+5>0,解得x<53,此時12時,f(x)=-x,
∴f(x)+1>0即為-x+1>0,解得x<1,此時x∈?.
綜上可知,f(x)+1>0的解集為x-12.
作出y=f(x)的圖像,如圖所示:
結合圖像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需當x=1時,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,
∴實數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).
【自我檢測】
解:(1)∵f(x)=|x+a|+|x-3a|≥|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,
且f(x)min=4,∴4|a|=4,
解得a=1.
(2)由題知|m|2-4|m|≤4|a|,
又a是存在的且a∈[-2,3].
∴|m|2-4|m|≤4|a|max=12,
即|m|2-4|m|-12≤0,即(|m|-6)(|m|+2)≤0,
∴|m|≤6,
∴-6≤m≤6,即實數(shù)m的取值范圍為[-6,6].
[備選理由] 在不等式的證明中,反證法也是解決問題的一個重要思路,備用例1是對例2應用的一個補充.
例1 [配例2使用] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,a∈R.
(1)當a=1時,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;
(2)若b∈R,求證:fb2,f-b2,f12中至少有一個不小于12.
解:(1)當a=1時,f(x)+f(-x)≤g(x)即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,
所以x≤-12,-4x≤x+2,無解;-12
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