新版高考數學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題16 三角函數的圖象與性質 Word版含解析

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1、 1

2、 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標全國】設當x=θ時，函數f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ=______ 【答案】； 【解析】. 2.【20xx新課標全國】函數在的圖像大致為（ ） 【答案】C； 3.【20xx全國1高考理】如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終

3、邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數，則的圖像大致為（ ） A B C D 【答案】C 4.【20xx高考全國1卷文】在函數①，② ，③,④中，最小正周期為的所有函數為（ ） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】①中函數是一個偶函數，其周期與相同，;②中函數的周期是函數周期的一半，即; ③; ④，則

4、選A． 5.【20xx全國1理問】函數的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為（ ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【熱點深度剖析】 從近幾年的高考試題來看，三角函數的周期性、單調性、最值，三角函數圖像變換等是高考的熱點，每年文理均涉及到一道三角函數性質與圖像的題目，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度屬于中、低檔；常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數性質的同時，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數與方程、轉化與化歸等思想方法． 20xx年文理試題一樣考查了三角最值問題，文科又與導數結合，考查三角函數的奇偶性，20xx年理科高考考查了

5、三角函數的圖像，文科考查了三角函數的周期性，難度中等.20xx年全國卷1文理試題相同，考查三角函數的圖像與性質.都從近幾年的高考試題來看，三角函數的周期性,單調性,對稱性,最值,圖像變換等是高考的熱點，常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數性質的同時，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數與方程、轉化與化歸等思想方法．其特點如下：(1)考小題，重基礎：小題其考查重點在于基礎知識：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)．(2)考大題，難度明顯降低：有關三角函數的大題即解答題，通過公式變形轉換來考查思維能力的題目已經很少，而著重考查基礎知識和基

6、本技能與方法的題目卻在增加．在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質結合起來，即利用圖象的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質，同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法.預測20xx年高考很有可能出一道三角變換與三角函數性質的交匯題，重點考查運算與恒等變換能力，文理科都也可能出一個大題． 【重點知識整合】 1三角函數的定義域: (1) 正弦函數、余弦函數的定義域都是R； (2) 正切函數定義域. 2三角函數的值域： （1）正弦、余弦函數值域都是. 對，當時，取最大值1；當時

7、，取最小值－1； 對，當時，取最大值1，當 時，取最小值－1. （2）正切函數值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值. 3.三角函數的單調區(qū)間： （1）上單調遞增，在單調遞減； （2）在上單調遞減，在上單調遞增； （3） 在開區(qū)間內都是增函數.注意在整個定義域上不具有單調性. 4.型單調區(qū)間的確定 （A、＞0）的單調性，把看作一個整體，放在正弦函數的遞增區(qū)間內解出，為上增函數；放在正弦函數的遞減區(qū)間內解出為上減函數（） 對與的單調區(qū)間的求解和上述類似. 5.三角函數的周期性 （1）正弦函數、余弦函數的最小正周期都是2；正切函數的最小正周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間

8、的距離是一個周期.　　 （2）函數圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數的半個周期；函數圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數的半個周期；函數取最值的點與相鄰的與x軸的交點間的距離為其函數的個周期. 6．型周期 和的最小正周期都是； 最小正周期. 7.三角函數的對稱性 （1）正弦函數是奇函數，對稱中心是，對稱軸是直線； （2）余弦函數是偶函數，對稱中心是，對稱軸是直線. 注意:正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點. （3）正切函數是奇函數，對稱中心是. 注意：正(余)

9、切型函數的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數的不同之處. 8.三角函數的最值 求三角函數的最值，主要利用正、余弦函數的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型處理： （1），設化為一次函數在閉區(qū)間上的最值求之； (2)，引入輔助角，化為求解方法同類型(1)； (3)，設，化為二次函數在上的最值求之； (4)，設化為二次函數在閉區(qū)間上的最值求之； (5)，設化為用法求值；當時，還可用平均值定理求最值； (6)根據正弦函數的有界性，可轉換為解決； (7)的最值，可轉化為討論點與動點連線的斜率，而動點在單位圓上運動，利用

10、幾何方法易得所求三角函數的最值. 9.函數圖像的變換（平移變換和上下變換） 平移變換：左加右減，上加下減 把函數向左平移個單位，得到函數的圖像; 把函數向右平移個單位，得到函數的圖像; 把函數向上平移個單位，得到函數的圖像; 把函數向下平移個單位，得到函數的圖像. 伸縮變換: 把函數圖像的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的，得到函數的圖像; 把函數圖像的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖像; 把函數圖像的橫坐標不變,縱坐標伸長到原來的，得到函數的圖像; 把函數圖像的橫坐標不變,縱坐標縮短到原來的，得到函數的圖像. 10.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別

11、開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少. 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個單位，便得的圖象. 注意：函數的圖象，可以看作把曲線上所有點向左(當時)或向右(當時)平行移動個單位長度而得到. 【應試技巧點撥】 1．如何判斷

12、函數的奇偶性 根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下： (1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有； (2)若為偶函數，則有;若為奇函數則有； (3)若為奇函數則有. 2.如何確定函數當時函數的單調性 對于函數求其單調區(qū)間，要特別注意的正負，若為負值，需要利用誘導公式把負號提出來，轉化為的形式，然后求其單調遞增區(qū)間，應把放在正弦函數的遞減區(qū)間之內；若求其遞減區(qū)間，應把放在正弦函數的遞增區(qū)間之內. 3.求三角函數的周期的方法 （1）定義法：使得當x取定義域內的每一個值時，都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題

13、； （2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混； (3)圖象法：可以畫出函數的圖象，利用圖象的重復的特征進行確定，一般適應于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數草圖的函數； (4)絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變. 4.掌握三種類型，順利求解三角最值 三角函數的最值既是高考中的一個重點，也是一個難點，其類型豐富，解決的方法比較多.但是歸納起來常見的有下面三種類型： （1）

14、可化為型函數值域： 利用三角公式對原函數進行化簡、整理，最終得到的形式，然后借助題目中給定的的范圍，確定的范圍，最后利用的圖象確定函數的值域. 如：、 等. (2)可化為型求函數的值域： 首先借助三角公式，把函數化成型，然后采用換元法，即令，構造關于的函數，然后根據具體的結構，采取相應的方法求解.如：、可轉化為二次函數求值域；，可轉化為對號函數求值域. (3)利用數性結合思想求函數的值域： 此類題目需分析函數的結構特征，看能否轉化為有幾何含義的式子結構，有時也可以把函數圖象畫出來，直接觀察確定函數的值域.如，常轉化為直線的斜率的幾何含義求解. 【考場經驗分享】 1．閉區(qū)間上

15、最值或值域問題，首先要在定義域基礎上分析單調性，含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響． 2．三角函數的性質問題，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解．要正確理解三角函數的性質，關鍵是記住三角函數的圖象，根據圖象并結合整體代入的基本思想即可求三角函數的單調性，最值與周期． 3.　(1)在求三角函數的最值時，要注意自變量x的范圍對最值的影響，往往結合圖象求解．(2)求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，只有當ω＞0時，才可整體代入并求其解，當ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解． 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆湖北省龍泉中學等校高三9月聯(lián)考】將函數

16、的圖象向左平移個單位長度后，所得函數的圖象關于原點對稱，則函數在的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】將函數的圖象向左平移個單位長度后，所的函數解析式為，此函數關于原點對稱，即，將解析式代入其中，利用三角恒等變換可求得，則在的最小值為，所以本題的正確選項為C. 2．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應性考試】要得到函數的圖像，只需將函數的圖像沿軸（ ） A．向左平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向右平移個

17、單位 【答案】A 3．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知函數的定義域為,值域為，則的值不可能是（ ） A. B.π C. D.2π 【答案】D 【解析】當時，，所以可令，又函數的最小值為，所以，所以，所以選項D不可能，故選D. 4．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知函數①②，③，④的部分圖象如下，但順序被打亂，則按照圖象從左到右的順序，對應的函數序號正確的一組是（ ） ①④②③ ①④③② ④①②③ ③④②① 【答案】A 【解析】函數是偶函數，所以對應圖象應為第一個圖象；函數是奇函數，且當在區(qū)間函數值有正有

18、負，對應圖象為第3個函數圖象；函數是奇函數，且當在區(qū)間函數值，所以對應圖象為第4個圖象；當時，，當時，，所以函數的圖象為第2個，故選A. 5．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知函數，如果存在實數，使得對任意的實數，都有成立，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，設的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C. 6．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】關于函數的性質，下列敘述不正確的是（ ） A．的最小正周期為 B．是偶函數 C．的圖象關于直線

19、對稱 D．在每一個區(qū)間內單調遞增 【答案】A 7．【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一?？荚嚒咳艉瘮?，函數，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，則的幾何意義是兩曲線動點之間的距離的平方，取函數的導數，直線的斜率為，由，即，解得，此時，即函數在處的切線與平行，則最短距離為，所以的最小值為，故選B. 8．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬考試】已知函數的最小正周期為，且，則的一個對稱中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第

20、二次模擬】已知的部分圖象如圖所示，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得，根據給定的圖象，可知，又，即，令，則，又，所以令，所以，故選C. 10．【20xx屆福建省廈門一中高三下學期測試】已知函數的部分圖象，如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象關于點對稱，則的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 由函數的圖象關于點對稱，可得 則當時，，選D 11. 【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】已知函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象

21、，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】由題意得，又∵， ∴，即，，∵，∴，故選C. 12. 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學期元月調研】將函數的圖象沿軸向右平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，則的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市20xx屆高三調研】設函數的最小正周期為，且滿足，則函數的單調增區(qū)間為 ． 【答案】 【解析】因為，所以由，由，因為，所以，由，即函數的單調增區(qū)間為 14. 【

22、江蘇省啟東中學20xx屆高三下學期期初調研】設常數使方程 在閉區(qū)間上恰有三個解，則 ▲ ． 【答案】； 【解析】，直線與三角函數圖象的交點，在上，當時，直線與三角函數圖象恰有三個交點，令或，即或，此時，． 15．已知函數下列結論錯誤的是（　?。? A．函數的最小正周期為 B．函數是偶函數 C．函數的圖象關于直線對稱 D．函數在區(qū)間上是增函數 【答案】C 16. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學期開學聯(lián)考】設函數，且其圖像關于軸對稱，則函數的一個單調遞減區(qū)間是 （ ） 【答案】C 【名師原創(chuàng)測試篇

23、】 1. 若函數的最小正周期為，若對任意,都有，則的值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知 ，此時，，因最小正周期為，故，又對任意,都有，所以應為的最值，即，所以 2.已知函數的最小正周期是，若其圖像向右平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數的圖像 （ ） A.關于點對稱 B.關于直線對稱 C.關于點對稱 D.關于直線對稱 【答案】C 【解析】根據最小正周期為，知：，將圖像向右平移個單位得到為奇函數，所以，解得：，因為，只有當時，符合題意，所以，根據三角函數的性質

24、可知，所以C正確. 3.已知函數（其中），其部分圖像如下圖所示，將的圖像縱坐標不變，橫坐標變成原來的2倍，再向右平移1個單位得到的圖像，則函數的解析式為（） A. B. C. D. 【答案】B 4.函數的值域為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴為周期函數，其中一個周期為，故只需考慮在上的值域即可， 當時，，其中，， ∴，， 當時，，，， ∴，，∴的值域為. 5. 已知函數y＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間上為增函數，且圖象關于點(3π，0)對稱，則ω的取值集合為　　　?。? 【答案】 【解析】由題意知，即，其中，則ω的取值集合為 6. 設偶函數的部分圖象如圖所示，， ，，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 6.已知函數，求函數的零點個數（ ） A．2 B. 3 C． 4 D.5 【解析】C