2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題32 雙曲線及其性質(zhì) 理.doc
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專題32 雙曲線及其性質(zhì) 一、考綱要求: 1.了解雙曲線的實際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. 2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線) 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用. 二、概念掌握和解題上注意點: 1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題,在雙曲線的定義中,要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”.若定義中的“絕對值”去掉,點的軌跡是雙曲線的一支.同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用. 2.在焦點三角形中,注意定義、余弦定理的活用,常將||PF1|-|PF2||=2a平方,建立與|PF1||PF2|間的聯(lián)系. 3. 求雙曲線標準方程的主要方法 (1)定義法:由條件判定動點的軌跡是雙曲線,求出a2,b2,得雙曲線方程. (2)待定系數(shù)法:即“先定位,后定量”,如果不能確定焦點的位置,應(yīng)注意分類討論或恰當設(shè)置簡化討論. 4.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得. (2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件,求雙曲線中a,b的值或a與b的比值,進而得出雙曲線的漸近線方程. 三、高考考題題例分析 例1.(2018課標卷I)已知雙曲線C:﹣y2=1,O為坐標原點,F(xiàn)為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=( ?。? A. B.3 C.2 D.4 【答案】B 【解析】:雙曲線C:﹣y2=1的漸近線方程為:y=,漸近線的夾角為:60,不妨設(shè)過F(2,0)的直線為:y=, 則:解得M(,), 解得:N(), 則|MN|==3. 故選:B. 例2.(2018課標卷II) 雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( ?。? A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 【答案】A 例3.(2018課標卷III) 設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦點,O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P,若|PF1|=|OP|,則C的離心率為( ?。? A. B.2 C. D. 【答案】C 【解析】:雙曲線C:﹣=1(a>0.b>0)的一條漸近線方程為y=x, ∴點F2到漸近線的距離d==b,即|PF2|=b, ∴|OP|===a,cos∠PF2O=, ∵|PF1|=|OP|, ∴|PF1|=a, 在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O, ∴6a2=b2+4c2﹣2b2c=4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2), 即3a2=c2, 即a=c, ∴e==, 故選:C. 雙曲線及其性質(zhì)練習題 一、 選擇題 1.已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a= ( ) A.2 B. C. D.1 【答案】D 【解析】依題意,e===2,∴=2a,則a2=1,a=1. 2.若雙曲線E:-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 【答案】B 【解析】由題意知a=3,b=4,∴c=5.由雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9. 3.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為 ( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 4.已知雙曲線的離心率為2,焦點是(-4,0),(4,0),則雙曲線的方程為 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】A 【解析】已知雙曲線的離心率為2,焦點是(-4,0),(4,0),則c=4,a=2,b2=12,雙曲線方程為-=1,故選A. 5.雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+ 2y-1=0垂直,則雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. D.+1 【答案】B 【解析】由已知得=2,所以e====,故選B. 6已知雙曲線x2-=1的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點.若|PF1|=|PF2|,則△F1PF2的面積為 ( ) A.48 B.24 C.12 D.6 【答案】B 7.若雙曲線-=1的左焦點為F,點P是雙曲線右支上的動點,A(1,4),則|PF|+|PA|的最小值是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】B 【解析】由題意知,雙曲線-=1的左焦點F的坐標為(-4,0),設(shè)雙曲線的右焦點為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,當且僅當A,P,B三點共線且P在A,B之間時取等號. 所以|PF|+|PA|的最小值為9. 8.已知點F1(-3,0)和F2(3,0),動點P到F1,F(xiàn)2的距離之差為4,則點P的軌跡方程為( ) A.-=1(y>0) B.-=1(x>0) C.-=1(y>0) D.-=1(x>0) 【答案】B 9.已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1,F(xiàn)2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2F1= ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由e==2得c=2a,如圖,由雙曲線的定義得|F1A|-|F2A|=2a. 又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a, |F2A|=2a,∴cos∠AF2F1==. 10.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)上一點到兩個焦點的距離分別為10和4,且離心率為2,則該雙曲線的虛軸長為 ( ) A.3 B.6 C.3 D.6 【答案】D 【解析】由題意得2a=10-4=6,解得a=3,又因為雙曲線的離心率e==2,所以c=6,則b==3,所以該雙曲線的虛軸長為2b=6,故選D. 11.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=相切,則該雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. D.3 【答案】A 12.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A,B兩點,若△OAB的面積為,則雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可求得|AB|=,所以S△OAB=c=,整理得=.因此e=. 二、填空題 13.過雙曲線x2-=1的右焦點且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則|AB|=________. 【答案】4 【解析】雙曲線的右焦點為F(2,0),過F與x軸垂直的直線為x=2,漸近線方程為x2-=0,將x=2代入x2-=0,得y2=12,y=2,∴|AB|=4. 14.設(shè)雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點,則|BF2|+|AF2|的最小值為________. 【答案】10 【解析】由雙曲線的標準方程為-=1,得a=2,由雙曲線的定義可得|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=8.因為|AF1|+|BF1|=|AB|,當|AB|是雙曲線的通徑時,|AB|最小,所以(|AF2|+|BF2|)min=|AB|min+8=+8=10. 15.雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,焦點到漸近線的距離為3,則C的實軸長等于________. 【答案】8 【解析】因為e==,所以c=a,設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x,即ax-by=0,焦點為(0,c),所以=b=3,所以a==,所以a2=16,即a=4,故2a=8. 16.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為________. 【答案】y=x 三、解答題 17.已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點,它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程. 【答案】-=1. 【解析】橢圓D的兩個焦點為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),因而雙曲線中心在原點,焦點在x軸上,且c=5. 設(shè)雙曲線G的方程為-=1(a>0,b>0), ∴漸近線方程為bxay=0且a2+b2=25, 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3. ∴=3,得a=3,b=4, ∴雙曲線G的方程為-=1. 18.已知雙曲線的中心在原點,左,右焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-). (1)求雙曲線的方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:12=0. 【答案】(1) x2-y2=6;(2)見解析 【解析】 (1)∵e=,∴可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過點(4,-),∴16-10=λ,即λ=6, ∴雙曲線的方程為x2-y2=6. 證法二:由證法一知1=(-3-2,-m), 2=(2-3,-m), ∴12=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2, ∵點M在雙曲線上, ∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴12=0. 19.已知離心率為的橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,雙曲線以橢圓的長軸為實軸,短軸為虛軸,且焦距為2. (1)求橢圓及雙曲線的方程. (2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A,B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P,連接BP交橢圓于點M,連接PA并延長交橢圓于點N,若=,求四邊形ANBM的面積. 【答案】(1) -=1;(2) 15 (2)由(1)得A(-5,0),B(5,0), |AB|=10, 設(shè)M(x0,y0),則由=得M為BP的中點,所以P點坐標為(2x0-5, 2y0). 將M,P坐標代入橢圓和雙曲線方程, 得 消去y0,得2x-5x0-25=0.解之, 得x0=-或x0=5(舍去). 所以y0=. 由此可得M, 所以P(-10,3). 當P為(-10,3)時, 直線PA的方程是y=(x+5), 即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0. 所以x=-或-5(舍去), 所以xN=-,xN=xM,MN⊥x軸. 所以S四邊形ANBM=2S△AMB =210=15.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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