2018年秋高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機變量的均值學案 新人教A版選修2-3.doc
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2.3.1 離散型隨機變量的均值 學習目標:1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值.(重點)2.掌握兩點分布、二項分布的均值.(重點)3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題.(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1.離散型隨機變量的均值 (1)定義:若離散型隨機變量X的分布列為: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望. (2)意義:它反映了離散型隨機變量取值的平均水平. (3)性質:如果X為(離散型)隨機變量,則Y=aX+b(其中a,b為常數(shù))也是隨機變量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 2.兩點分布和二項分布的均值 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=p; (2)若X~B(n,p),則E(X)=np. 3.隨機變量的均值與樣本平均值的關系 隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.對于簡單隨機樣本,隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的均值. [基礎自測] 1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變化; ( ) (2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平; ( ) (3)若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=2,則E(2X)=4; ( ) (4)隨機變量X的均值E(X)=. ( ) [解析] (1) 隨機變量的數(shù)學期望E(X)是個常量,是隨機變量X本身固有的一個數(shù)字特征. (2) 隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平. (3)√ 由均值的性質可知. (4) 因為E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. [答案] (1) (2) (3)√ (4) 2.若隨機變量X的分布列為 X -1 0 1 p 則E(X)=( ) A.0 B.-1 C.- D.- C [E(X)=ipi=(-1)+0+1=-.] 3.設E(X)=10,則E(3X+5)=________. 35 [E(3X+5)=3E(X)+5=310+5=35.] 4.若隨機變量X服從二項分布B,則E(X)的值為________. 【導學號:95032178】 [E(X)=np=4=.] [合 作 探 究攻 重 難] 求離散型隨機變量的均值 某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定:每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會,一旦某次考試通過,即可領取駕照,不再參加以后的考試,否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試,設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年內李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值. [解] X的取值分別為1,2,3,4. X=1,表明李明第一次參加駕照考試就通過了, 故P(X=1)=0.6. X=2,表明李明在第一次考試未通過,第二次通過了,故P(X=2)=(1-0.6)0.7=0.28. X=3,表明李明在第一、二次考試未通過,第三次通過了, 故P(X=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096. X=4,表明李明第一、二、三次考試都未通過,故P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=0.024. 所以李明實際參加考試次數(shù)X的分布列為 X=k 1 2 3 4 P(X=k) 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值為E(X)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544. [規(guī)律方法] 求離散型隨機變量X的均值步驟 (1)理解X的實際意義,并寫出X的全部取值. (2)求出X取每個值的概率. (3)寫出X的分布列(有時也可省略). (4)利用定義公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求出均值. 其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關鍵,在求解過程中要注重運用概率的相關知識. [跟蹤訓練] 1.盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及均值. [解] X可取的值為1,2,3, 則P(X=1)=,P(X=2)==, P(X=3)=1=. 抽取次數(shù)X的分布列為 X 1 2 3 P E(X)=1+2+3=. 離散型隨機變量的均值公式及性質 已知隨機變量X的分布列如下: X -2 -1 0 1 2 P m (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y). 【導學號:95032179】 [解] (1)由隨機變量分布列的性質,得+++m+=1, 解得m=. (2)E(X)=(-2)+(-1)+0+1+2=-. (3)法一:(公式法)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2-3=-. 法二:(直接法)由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下: Y -7 -5 -3 -1 1 P 所以E(Y)=(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1=-. [規(guī)律方法] 1.該類題目屬于已知離散型分布列求均值,求解方法是直接套用公式,E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解. 2.對于aX+b型的隨機變量,可利用均值的性質求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比較兩種方式顯然前者較方便. [跟蹤訓練] 2.已知隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 且Y=aX+3,若E(Y)=-2,則a的值為________. -3 [E(X)=1+2+3=. ∵Y=aX+3,∴E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2. 解得a=-3.] 兩點分布與二項分布的均值 某運動員投籃命中率為p=0.6. (1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值; (2)求重復5次投籃時,命中次數(shù)Y的均值. 【導學號:95032180】 [思路探究] (1)利用兩點分布求解.(2)利用二項分布的數(shù)學期望公式求解. [解] (1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表: X 0 1 P 0.4 0.6 則E(X)=0.6. (2)由題意,重復5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=np=50.6=3. 母題探究:1.(變換條件)求重復10次投籃時,命中次數(shù)ξ的均值. [解] E(ξ)=100.6=6. 2.(改變問法)重復5次投籃時,命中次數(shù)為Y,命中一次得3分,求5次投籃得分的均值. [解] 設投籃得分為變量η,則η=3Y. 所以E(η)=E(3Y)=3E(Y)=33=9. [規(guī)律方法] 1.常見的兩種分布的均值 設p為一次試驗中成功的概率,則 (1)兩點分布E(X)=p; (2)二項分布E(X)=np. 熟練應用上述公式可大大減少運算量,提高解題速度. 2.兩點分布與二項分布辨析 (1)相同點:一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生. (2)不同點: ①隨機變量的取值不同,兩點分布隨機變量的取值為0,1,二項分布中隨機變量的取值x=0,1,2,…,n. ②試驗次數(shù)不同,兩點分布一般只有一次試驗;二項分布則進行n次試驗. 離散型隨機變量均值的實際應用 [探究問題] 1.某籃球明星罰球命中率為0.7,罰球命中得1分,不中得0分,則他罰球一次的得分X可以取哪些值?X取每個值時的概率是多少? [提示] 隨機變量X可能取值為0,1.X取每個值的概率分別為P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7. 2.在探究1中,若該球星在一場比賽中共罰球10次,命中8次,那么他平均每次罰球得分是多少? [提示] 每次平均得分為=0.8. 3.在探究1中,你能求出在他參加的各場比賽中,罰球一次得分大約是多少嗎?為什么? [提示] 在球星的各場比賽中,罰球一次的得分大約為00.3+10.7=0.7(分).因為在該球星參加各場比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機變量X的數(shù)學期望來描述他總體得分的平均水平.具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應該是非常接近X的均值的一個分數(shù). 隨機抽取某廠的某種產品200件,經質檢,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設1件產品的利潤(單位:元)為X. (1)求X的分布列; (2)求1件產品的平均利潤(即X的均值); (3)經技術革新后,仍有四個等級的產品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少? 【導學號:95032181】 [思路探究] → →→ [解] (1)X的所有可能取值有6,2,1,-2. P(X=6)==0.63, P(X=2)==0.25,P(X=1)==0.1, P(X=-2)==0.02. 故X的分布列為: X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34. (3)設技術革新后的三等品率為x,則此時1件產品的平均利潤為 E(X)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01 =4.76-x(0≤x≤0.29). 依題意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多為3%. [規(guī)律方法] 1.實際問題中的均值問題 均值在實際生活中有著廣泛的應用,如對體育比賽的成 績預測,消費預測,工程方案的預測,產品合格率的預測,投資收益的預測等方面,都可以通過隨機變量的均值來進行估計. 2.概率模型的三個解答步驟 (1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些. (2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的均值. (3)對照實際意義,回答概率,均值等所表示的結論. [跟蹤訓練] 3.在一次射擊比賽中,戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5;戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0.3,那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰? [解] 設這次射擊比賽戰(zhàn)士甲得X1分,戰(zhàn)士乙得X2分,則分布列分別如下: X1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 X2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 根據(jù)均值公式得 E(X1)=10.4+20.1+30.5=2.1; E(X2)=10.1+20.6+30.3=2.2; 因為E(X2)>E(X1), 故這次射擊比賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大,所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.若隨機變量X~B(5,0.8),則E(X)=( ) A.0.8 B.4 C.5 D.3 B [E(X)=np=50.8=4.故選B.] 2.設隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4,則E(X)的值為( ) 【導學號:95032182】 A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2 A [E(X)=1+2+3+4=2.5.] 3.袋中裝有6個紅球,4個白球,從中任取1個球,記下顏色后再放回,連續(xù)摸取4次,設X是取得紅球的次數(shù), 則E(X)=________. [每一次摸得紅球的概率為=,由X~B,則E(X)=4=.] 4.已知X~B,則E(2X+3)=________. 103 [E(X)=100=50,E(2X+3)=2E(X)+3=103.] 5.袋中有4個黑球,3個白球,2個紅球,從中任取2個球,每取到1個黑球記0分,每取到1個白球記1分,每取到1個紅球記2分,用X表示取得的分數(shù).求: (1)X的分布列; (2)X的均值. 【導學號:95032183】 [解] (1)由題意知,X可能取值為0,1,2,3,4. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P (2)E(X)=0+1+2+3+4=.- 配套講稿:
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