2018年秋高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 橢圓 2.2.2 第1課時 橢圓的簡單幾何性質學案 新人教A版選修2-1.doc

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第1課時　橢圓的簡單幾何性質 學習目標：1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形．(重點)2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質，并能畫出相應的曲線．(重點，難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．橢圓的簡單幾何性質 焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 對稱性 對稱軸為坐標軸，對稱中心為原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 軸長 短軸長|B1B2|＝2b，長軸長|A1A2|＝2a 焦點 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 2.離心率 (1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率． (2)性質：離心率e的范圍是(0,1)．當e越接近于1時，橢圓越扁；當e越接近于0時，橢圓就越接近于圓． 思考：(1)離心率e能否用表示？ (2)離心率相同的橢圓是同一個橢圓嗎？ [提示]　(1)e2＝＝＝1－，所以e＝. (2)不是．離心率相同的橢圓焦距與長軸的長的比值相同． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)橢圓＋＝1(a>b)的長軸長為a，短軸長為b.(　　) (2)橢圓的離心率越大，則橢圓越接近于圓．(　　) (3)若一個矩形的四個頂點都在橢圓上，則這四個頂點關于橢圓的中心對稱．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點坐標是(　　) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) D　[橢圓方程可化為x2＋＝1，則長軸的端點坐標為(0，)．] 3．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是(　　) 【導學號：46342069】 A．5,3,0.8　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 B　[橢圓方程可化為＋＝1，則a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.] [合 作 探 究攻 重 難] 根據(jù)橢圓的方程研究其幾何性質 　設橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的離心率為，試求橢圓的長軸的長和短軸的長、焦點坐標及頂點坐標． [解]　橢圓方程可化為＋＝1. (1)當0＜m＜4時，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別是4,2，焦點坐標為F1，F(xiàn)2，頂點坐標為A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)． (2)當m＞4時，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別為，4，焦點坐標為F1，F(xiàn)2，頂點坐標為A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． [規(guī)律方法]　用標準方程研究幾何性質的步驟 (1)將橢圓方程化為標準形式． (2)確定焦點位置．(焦點位置不確定的要分類討論) (3)求出a，b，c. (4)寫出橢圓的幾何性質． 提醒：長軸長、短軸長、焦距不是a，b，c，而應是a，b，c的兩倍． [跟蹤訓練] 1．已知橢圓C1：＋＝1，設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上． (1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率； (2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質． [解]　(1)由橢圓C1：＋＝1可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點坐標(6,0)，(－6,0)，離心率e＝. (2)橢圓C2：＋＝1. 性質：①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②對稱性：關于x軸、y軸、原點對稱； ③頂點：長軸端點(0,10)，(0，－10)，短軸端點(－8,0)，(8,0)； ④離心率：e＝. 利用幾何性質求橢圓的標準方程 　求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)橢圓過點(3,0)，離心率e＝； (2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8； (3)求經過點M(1,2)，且與橢圓＋＝1有相同離心率的橢圓的標準方程. 【導學號：46342070】 [思路探究]　(1)焦點位置不確定，分兩種情況求解． (2)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解． (3)法一：先求離心率，根據(jù)離心率找到a與b的關系．再用待定系數(shù)法求解． 法二：設與橢圓＋＝1有相同離心率的橢圓方程為＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0) [解]　(1)若焦點在x軸上，則a＝3， ∵e＝＝，∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴橢圓的方程為＋＝1. 若焦點在y軸上，則b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴橢圓的方程為＋＝1. ∴所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. (2)設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)． 如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形， OF為斜邊A1A2的中線(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求橢圓的方程為＋＝1. (3)法一：由題意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2 設所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 將點M(1,2)代入橢圓方程得 ＋＝1或＋＝1 解得b2＝或b2＝3. 故所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 法二：設所求橢圓方程為＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，將點M的坐標代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1. [規(guī)律方法]　 利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路 1．利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是： (1)確定焦點位置； (2)設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)； (3)根據(jù)已知條件構造關于參數(shù)的關系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時常用的關系式有b2＝a2－c2，e＝等． 2．在橢圓的簡單幾何性質中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個． 提醒：與橢圓＋＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為＋＝k1(k1>0，焦點在x軸上)或＋＝k2(k2>0，焦點在y軸上)． [跟蹤訓練] 2．(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3,0)，則橢圓的標準方程為(　　) A.＋＝1　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 B　[由題意，得 解得 因為橢圓的焦點在x軸上， 所以橢圓的標準方程為＋＝1.] (2)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA＝，則橢圓的標準方程是________． ＋＝1或＋＝1　[因為橢圓的長軸長是6，cos∠OFA＝，所以點A不是長軸的端點(是短軸的端點)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以橢圓的方程是＋＝1或＋＝1.] 求橢圓的離心率 [探究問題] 1．已知F是橢圓的左焦點，A，B分別是其在x軸正半軸和y軸正半軸上的頂點，P是橢圓上的一點，且PF⊥x軸，OP∥AB，怎樣求橢圓的離心率？ 提示：如圖，設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)． ∵OP∥AB， ∴△PFO∽△BOA， ∴＝， ① 又P(－c，m)在橢圓上， ∴＋＝1. ② 將①代入②，得＝1， 即e2＝，∴e＝. 2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是兩個頂點，如果F1到直線AB的距離為，求橢圓的離心率e. 提示：由A(－a,0)，B(0，b)，得直線AB的斜率為kAB＝， 故AB所在的直線方程為y－b＝x， 即bx－ay＋ab＝0. 又F1(－c,0)，由點到直線的距離公式可得d＝＝， ∴(a－c)＝. 又b2＝a2－c2， 整理，得8c2－14ac＋5a2＝0， 即8－14＋5＝0. ∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)． 綜上可知，橢圓的離心率e＝. 　已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2是正三角形，則該橢圓的離心率是________. 【導學號：37792071】 [思路探究]　△ABF2為正三角形?∠AF2F1＝30?把|AF1|，|AF2|用C表示． [解析]　不妨設橢圓的焦點在x軸上，因為AB⊥F1F2，且△ABF2為正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30，令|AF1|＝x，則|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由橢圓的定義，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x， 所以e＝＝＝. [答案]　 [規(guī)律方法]　 求橢圓離心率及范圍的兩種方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關系式，借助于a2＝b2＋c2，轉化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍． [跟蹤訓練] 3．(1)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標原點)，則橢圓的離心率是(　　) A.－1　　B．2－　　C.－1　　D．2－ (2)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________． (1)A　(2)－1　[(1)如圖，設F(c,0)，由△OAF是等邊三角形， 得A，因為點A在橢圓上，所以有＋＝1　①，在橢圓中有a2＝b2＋c2?、冢?lián)立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，則其離心率e＝＝－1. (2)法一　如圖，∵△DF1F2為正三角形，N為DF2的中點，∴F1N⊥F2N， ∵|NF2|＝c， ∴|NF1|＝＝＝c， 由橢圓的定義可知|NF1|＋|NF2|＝2a， ∴c＋c＝2a， ∴e＝＝＝－1. 法二　注意到焦點三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30，∠NF2F1＝60，∠F1NF2＝90，則由離心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.] [當 堂 達 標固 雙 基] 1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝1有相同的長軸，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的短軸長與＋＝1的短軸長相等，則(　　) 【導學號：46342072】 A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9 D　[由題意得，橢圓＋＝1的焦點在x軸上，且a2＝25，b2＝9.] 2．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[右焦點為F(1,0)說明兩層含義：橢圓的焦點在x軸上，c＝1.又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故橢圓的方程為＋＝1.] 3．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B　[由題意得：2b＝a＋c， ∴4b2＝(a＋c)2， 又∵a2＝b2＋c2， ∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2， 即3a2－2ac－5c2＝0， ∴3－2－5＝0， 即5＋2－3＝0， ∴e＝＝.] 4．若焦點在y軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m的值為________． 　[由題意知0b>0)的兩焦點為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)(c>0)，離心率e＝，焦點到橢圓上點的最短距離為2－，求橢圓的方程. 【導學號：46342073】 [解]　由題意知 解得 所以b2＝a2－c2＝1， 所以所求橢圓的方程為＋x2＝1.