2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 第2課時(shí) 集合的表示學(xué)案 新人教A版必修1.doc

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第2課時(shí)　集合的表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語(yǔ)言的意義和作用．(重點(diǎn))2.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．列舉法 把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法． 2．描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．一般形式為A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范圍，p是各元素的共同特征． 思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ [提示]　(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5. (2){x|x<5，x∈R}． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}．(　　) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　) (3)集合A＝{x|x－1＝0}與集合B＝{1}表示同一個(gè)集合．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．方程x2＝4的解集用列舉法表示為(　　) A．{(－2,2)}　　　　　　 B．{－2,2} C．{－2} D．{2} B　[由x2＝4得x＝2，故用列舉法可表示為{－2,2}．] 3．用描述法表示函數(shù)y＝3x＋1圖象上的所有點(diǎn)的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102022】 A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} C　[該集合是點(diǎn)集，故可表示為{(x，y)|y＝3x＋1}，選C.] 4．不等式4x－5<7的解集為________． {x|4x－5<7}　[用描述法可表示為{x|4x－5<7}．] [合 作 探 究攻 重 難] 用列舉法表示集合 　用列舉法表示下列給定的集合： (1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A. (2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B. (3)方程2x2－x－3＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合C. (4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D. [解]　(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的實(shí)數(shù)根為－1，.所以C＝. (4)由得 所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)為(1,4)， 所以D＝{(1,4)}． [規(guī)律方法]　用列舉法表示集合的3個(gè)步驟 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次. (3)用花括號(hào)括起來(lái). 提醒：二元方程組的解集，函數(shù)的圖象點(diǎn)形成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫成實(shí)數(shù)對(duì)的形式，元素與元素之間用“,”隔開.如{(2，3)，(5，－1)}. [跟蹤訓(xùn)練] 1．用列舉法表示下列集合： (1)方程組的解集； (2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102023】 [解]　(1)由解得 故該方程組的解集為{(1,1)}． (2)因?yàn)閤∈N，y∈N，x＋y＝3， 所以或或或 故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}． 用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的實(shí)數(shù)的集合； (2)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合； (3)被3除余數(shù)等于1的正整數(shù)組成的集合． [解]　(1){x∈R|10}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． [規(guī)律方法]　 描述法表示集合的2個(gè)步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 2.用描述法表示下列集合： 圖111 (1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點(diǎn)組成的集合； (2)不等式2x－3<5的解組成的集合； (3)如圖111中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102024】 [解]　(1)函數(shù)y＝－2x2＋x的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}． (2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3)圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合可表示為{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，xy≥0}． (4)3和4的最小公倍數(shù)是12，因此3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． 集合表示方法的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．下面三個(gè)集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它們各自的含義是什么？ (2)它們是不是相同的集合？ 提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，滿足條件y＝x2＋1中的x∈R，所以實(shí)質(zhì)上{x|y＝x2＋1}＝R； 集合②的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以實(shí)質(zhì)上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}； 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以認(rèn)為是滿足y＝x2＋1的數(shù)對(duì)(x，y)的集合，也可以認(rèn)為是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的集合，且這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是拋物線y＝x2＋1上的點(diǎn)}． (2)由(1)中三個(gè)集合各自的含義知，它們是不同的集合． 2．設(shè)集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}． (1)構(gòu)成集合A的元素是什么？ (2)方程ax2＋x＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程嗎，為什么？ 提示：(1)構(gòu)成集合A的元素是方程ax2＋x＋1＝0的根． (2)不一定．當(dāng)a＝0時(shí)，方程是關(guān)于x的一元一次方程；當(dāng)a≠0時(shí)，方程是關(guān)于x的一元二次方程． 　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合． 思路探究： [解]　(1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意； (2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個(gè)元素，則方程kx2－8x＋16＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時(shí)集合A＝{4}，滿足題意． 綜上所述，k＝0或k＝1，故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}． 母題探究：1.(變條件)本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合． [解]　由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不等實(shí)根． 故Δ＝64－64k>0，即k<1. 所以實(shí)數(shù)k組成的集合為{k|k<1}． 2．(變條件)本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“至少有一個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． [解]　由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根． ①當(dāng)k＝0時(shí)，由－8x＋16＝0得x＝2，合題意； ②當(dāng)k≠0時(shí)，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則Δ＝64－64k≤0，即k≥1. 綜合①②可知，實(shí)數(shù)k的取值集合為{k|k＝0或k≥1}． [規(guī)律方法]　1.若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3中集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題. 2.在學(xué)習(xí)過程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列舉法可表示為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102025】 A．{0,1,2,3,4}　　　　　 B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} B　[由x－3<2可知x<5，又x∈N*，故x可以為1,2,3,4，故選B.] 2．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[集合A中有兩個(gè)元素：(1,2)，(3,4)．] 3．如果A＝{x|x>－1}，那么(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102026】 A．－2∈A B．{0}∈A C．－3∈A D．0∈A D　[∵0>－1，故0∈A，選D.] 4．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，則集合A用列舉法表示為________． {－1,4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4， ∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．] 5．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)方程組的解集； (2)所有的正方形； (3)拋物線y＝x2上的所有點(diǎn)組成的集合. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102027】 [解]　(1)解方程組得 故解集為{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示為{x|x是正方形}，簡(jiǎn)寫為{正方形}． (3)集合用描述法表示為{(x，y)|y＝x2}．