2018版高中數(shù)學 第2章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學案 新人教B版必修5.doc

2.1.1數(shù)列1.理解數(shù)列的概念.(重點)2.掌握數(shù)列的通項公式及應用.(重點)3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.(難點、易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理1數(shù)列的定義及分類閱讀教材P25第一行P25倒數(shù)第5行，及P26例1上面倒數(shù)第一、二自然段，完成下列問題.1.數(shù)列的概念及一般形式2.數(shù)列的分類類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)1,7,0,11，3，1 000不構(gòu)成數(shù)列.()(2)an與an是一樣的，都表示數(shù)列.()(3)數(shù)列1,0,1,0,1,0，是常數(shù)列.()(4)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個數(shù)列.()【解析】(1).因為只要按一定次序排成的一列數(shù)就是一個數(shù)列，所以1,7,0,11，3，1 000是一個數(shù)列.(2).因為an代表一個數(shù)列，而an只是這個數(shù)列中的第n項，故an與an是不一樣的.(3).因為各項相等的數(shù)列為常數(shù)列，而1,0,1,0,1,0，為擺動數(shù)列，而非常數(shù)列.(4).兩個數(shù)列只有項完全相同，且排列的次序也完全相同才稱為同一個數(shù)列，數(shù)列1,2,3,4與1,2,4,3雖然所含項相同，但各項排列次序不同，故不是同一個數(shù)列.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系閱讀教材P25倒數(shù)第5行P26倒數(shù)第4自然段，完成下列問題.1.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3，n)解析式數(shù)列的通項公式值域自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法1.下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列n(n1)中的一項()A.380B.392C.321D.232【解析】因為1920380，所以380是數(shù)列n(n1)中的第19項.應選A.【答案】A2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的通項公式是an()A.(10n1)B.C.(10n1)D.(10n1)【解析】10.9,10.99，故原數(shù)列的通項公式為an.應選B.【答案】B3.觀察下列數(shù)列的特點，用適當?shù)囊粋€數(shù)填空：1, ， ， ，_，.【解析】據(jù)規(guī)律填寫可知通項為an，a53.【答案】34.數(shù)列an滿足anlog2(n23)2，則log23是這個數(shù)列的第_項.【解析】令anlog2(n23)2log23，解得n3.【答案】3 小組合作型數(shù)列的概念及分類已知下列數(shù)列：2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；1，；1，；1,0，1，sin，；2,4,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，遞減數(shù)列是_，常數(shù)列是_，擺動數(shù)列是_.(填序號)【精彩點撥】緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列及擺動數(shù)列的定義求解.【自主解答】為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；為無窮、遞減數(shù)列；為無窮、擺動數(shù)列；是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.【答案】1.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項的性質(zhì)具有以下特點：確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)(即互異性)；有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性)；數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點.對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限.再練一題1.給出下列數(shù)列：(1)20062013年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)無窮多個構(gòu)成數(shù)列， ， ， ，.(3)2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，構(gòu)成數(shù)列2,4，8,16，32，.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，常數(shù)列是_，擺動數(shù)列是_.【解析】(1)為有窮數(shù)列；(2)(3)是無窮數(shù)列，同時(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動數(shù)列.【答案】(1)(2)(3)(1)(2)(3)由數(shù)列的前幾項求通項公式寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，.【精彩點撥】先觀察各項的特點，注意前后項間的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，項與序號的關(guān)系，每一項符號的變化規(guī)律，然后歸納出通項公式.【自主解答】(1)數(shù)列的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，所以，它的一個通項公式為an(nN).(2)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的通項公式為an10n1(nN).(3)數(shù)列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項公式為an(nN).(4)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an(1)n(nN).1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想.2.觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整.再練一題2.寫出下列數(shù)列的一個通項公式： 【導學號：18082015】(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.【解】(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一個通項公式是ann21(nN).(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an(1)n1(2n1)(nN).(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為ann(nN).(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)?，99，999，9 999，易知數(shù)列9,99,999,9 999，的一個通項公式為an10n1.所以原數(shù)列的一個通項公式為an(10n1)(nN).探究共研型數(shù)列的通項公式的意義探究1數(shù)列，的通項公式是什么？該數(shù)列的第7項是什么？是否為該數(shù)列中的一項？為什么？【提示】由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為an，當n7時，a7，若為該數(shù)列中的一項，則，解得n8，所以是該數(shù)列中的第8項.探究2已知數(shù)列an的通項公式為ann22n1，該數(shù)列的圖象有何特點？試利用圖象說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項.【提示】由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列an的圖象是分布在二次函數(shù)yx22x1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項.已知數(shù)列.(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi).【精彩點撥】(1)將n10代入數(shù)列的通項公式即可.(2)由求得n(nN)是否有正整數(shù)解即可.(3)求函數(shù)an的值域即可.【自主解答】設(shè)f(n).(1)令n10，得第10項a10f(10).(2)令，得9n300.此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項.(3)證明：an1，又nN，0<<1，0<an<1.即數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi).1.由通項公式寫出數(shù)列的某幾項.主要是對n進行取值，然后代入通項公式，相當于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.2.判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項.其方法是由通項公式等于這個數(shù)解出n，根據(jù)n是否為正整數(shù)便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項.3.在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是N(或它的有限子集1,2,3，n)這一約束條件.再練一題3.已知數(shù)列的通項公式為ann22n5.(1)寫出數(shù)列的前三項； 【導學號：18082016】(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性.【解】(1)數(shù)列的前三項：a1122152；a2222253；a33223510.(2)ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3.nN，2n3>0，an1>an.數(shù)列an是遞增數(shù)列.1.下列說法正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7，2n1可以表示為1,3,5,7，B.數(shù)列1,0，1，2與數(shù)列2，1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項為1D.數(shù)列0,2,4,6,8，可記為2n【解析】A錯，數(shù)列1,3,5,7，2n1為有窮數(shù)列，而數(shù)列1,3,5,7，為無窮數(shù)列；B錯，數(shù)的次序不同就是兩個不同的數(shù)列；C正確，ak1；D錯，an2n2.【答案】C2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A.11B.12C.13D.14【解析】觀察數(shù)列可知，后一項是前兩項的和，故x5813.【答案】C3.已知數(shù)列an的通項公式為an，則該數(shù)列的前4項依次為()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.，0，0D.2,0,2,0【解析】當n分別等于1,2,3,4時，a11，a20，a31，a40.【答案】A4.已知數(shù)列an的通項公式為an，那么是它的第_項. 【導學號：18082017】【解析】令，解得n4或n5(舍去)，所以是該數(shù)列的第4項.【答案】45.已知數(shù)列an的通項公式為an3n228n.(1)寫出數(shù)列的第4項和第6項；(2)49和68是該數(shù)列的項嗎？若是，是第幾項？若不是，請說明理由.【解】(1)因為an3n228n，所以a434228464，a636228660.(2)令3n228n49，即3n228n490，n7或n(舍).49是該數(shù)列的第7項，即a749.令3n228n68，即3n228n680，n2或n.2N，N，68不是該數(shù)列的項.