人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練:38 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ [A組 基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1.有一長為10 m的斜坡,傾斜角為75°,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?,通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°,則坡底要延長(  ) A.5 m           B.10 m C.10 m D.10 m 解析:如圖,A點(diǎn)為坡頂,B點(diǎn)為原坡底.設(shè)將坡底延長到B′點(diǎn)時,傾斜角為30°,在△ABB′中,∠B′=30°,∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m,由正弦定理得BB′===10,故坡底延長10 m時,斜坡的傾斜角將變?yōu)?0°.[來源:Z。xx。k.Com] 答案:C

2、2.一船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海里的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向N處,則該船航行的速度為(  )[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K] A.海里/小時 B.34海里/小時 C.海里/小時 D.34海里/小時 解析:如圖所示,在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,∠PMN=15°,故∠MPN=120°,由正弦定理可得=,所以MN=34 ,所以該船的航行速度為海里/小時. 答案:C 3.甲船在島A的正南B處,以每小時4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同時乙船自島A出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、

3、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為(  ) A.分鐘 B.小時 C.21.5分鐘 D.2.15小時 解析:如圖,設(shè)t小時后甲行駛到D處,則AD=10-4t,乙行駛到C處,則AC=6t.∵∠BAC=120°,∴DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100.當(dāng)t=時,DC2最小,DC最小,此時它們所航行的時間為×60=分鐘. 答案:A 4.(2014年泰安模擬)如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=

4、45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)間的距離為(  ) [來源:學(xué)*科*網(wǎng)] A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析:由AC=50(m),∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠CBA=30°,在△ABC中,由正弦定理可得=,即=, 所以AB=50(m),故選A. 答案:A 5.地上畫了一個角∠BDA=60°,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)∠BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N,則N與D之間的距離為(  ) A.14米   B.15米   C.16米   D.17

5、米 解析:如圖,設(shè)DN=x m, 則142=102+x2-2×10×xcos 60°, ∴x2-10x-96=0. ∴(x-16)(x+6)=0. ∴x=16或x=-6(舍). ∴N與D之間的距離為16米. 答案:C 6.(2014年呼和浩特第二次統(tǒng)考)已知等腰三角形的面積為,頂角的正弦值是底角的正弦值的倍,則該三角形的一腰長為(  ) A. B. C.2 D. 解析:設(shè)等腰三角形底角為α,根據(jù)題意得sin(180°-2α)=sin α,化簡得sin 2α=2sin αcos α=sin α,α∈(0,180°),所以解得cos α=,故α=30°,即三角形頂角為

6、120°,設(shè)腰長為x,則x2·sin 120°=x2=,解得x=. 答案:A 二、填空題 7.如圖,在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場,一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象,然后向右轉(zhuǎn)105°,行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時它向右轉(zhuǎn)135°回到出發(fā)點(diǎn),那么x=________.[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K] 解析:由題圖知,AB=x,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°=45°.∵BC=10,∠BAC=180°-75°-45°=60°,∴=,∴x==. 答案: 8.一船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔M

7、在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為________km. 解析:如圖所示,依題意有AB=15×4=60,∠MAB=30°, ∠AMB=45°, 在△AMB中, 由正弦定理得=, 解得BM=30(km). 答案:30 9.一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是________ m. 解析:設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,

8、 A=60°,AC=h,AB=100,BC=h, 根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°, 即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50, 故水柱的高度是50 m. 答案:50 三、解答題 10.如圖,在某平原地區(qū)一條河的彼岸有一建筑物,現(xiàn)在需要測量其高度AB.由于雨季河寬水急不能涉水,只能在此岸測量.現(xiàn)有的測量器材只有測角儀和皮尺.現(xiàn)在選定了一條水平基線HG,使得H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上. 請你設(shè)計(jì)一種測量方法測出建筑物的高度,并說明理由.(測角儀的高為h) 解析:如圖,測出∠ACE的度數(shù),測出∠ADE

9、的度數(shù),測量出HG的長度,即可計(jì)算出建筑物的高度AB.理由如下: 設(shè)∠ACE=α,∠ADE=β,HG=s. 在△ADC中,由正弦定理得 =, 所以AC=. 在直角三角形AEC中, AE=ACsin α=. 所以,建筑物的高AB=EB+AE=h+. 11.如圖,當(dāng)甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里的C處的乙船.[來源:學(xué)*科*網(wǎng)] (1)求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離; (2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援,其方向向成θ角,求f(x)=sin2θsin x+

10、cos2θcos x(x∈R)的值域. 解析:(1)連接BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120°=700. ∴BC=10,即所求距離為10海里. (2)∵=, ∴sin θ=. ∵θ是銳角,∴cos θ=. f(x)=sin2θsin x+cos2θcos x=sin x+cos x =sin, ∴f(x)的值域?yàn)? 12.(能力提升)A,B,C是一條直線上的三個點(diǎn),AB=BC=1 km,從這三點(diǎn)分別遙望一座電視塔P,A處看塔,塔在東北方向,B處看塔,塔在正東方向,C處看塔,塔在南偏東60°方向.求塔到直線AC的距離. 解析:如圖,過A點(diǎn)

11、作東西方向的一條直線l,過C,B,P分別作CM⊥l,BN⊥l,PQ⊥l,垂足分別為M,N,Q. 設(shè)BN=x,則PQ=x,PA=x. ∵AB=BC, ∴CM=2BN=2x.由正弦定理得 =, =. 又BC=BA,且∠CBP+∠ABP=180°, ∴===. ∴PC=×x=2x.在△PAC中, 根據(jù)余弦定理知AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°, 即4=2x2+4x2-4x2·, 解得x2=. 過P作PD⊥AC,垂足為D,則線段PD的長即為塔到直線AC的距離. 在△PAC中, 由AC·PD=PA·PCsin 75°, 得PD=, ∴塔到直線AC的

12、距離為 km. [B組 因材施教·備選練習(xí)]  (2014年青島調(diào)研)某單位設(shè)計(jì)一個展覽沙盤,現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi),設(shè)計(jì)一個對角線在l上的四邊形電氣線路,如圖所示.為充分利用現(xiàn)有材料,邊BC,CD用一根長為5米的材料彎折而成,邊BA,AD用一根長為9米的材料彎折而成,要求∠A和∠C互補(bǔ),且AB=BC. (1)設(shè)AB=x米,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范圍; (2)求四邊形ABCD面積的最大值. 解析:(1)在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A. 同理,在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C.

13、 ∵∠A和∠C互補(bǔ),∴cos C=-cos A, ∴AB2+AD2-2AB·AD·cos A=CB2+CD2+2CB·CD·cos A. 即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)·cos A, 解得cos A=,又∵5-x>0,9-x>0,且cos A<1, ∴x∈(2,5),即f(x)=,其中x∈(2,5). (2)四邊形ABCD的面積為S=S△ABD+S△CBD =(AB·AD+CB·CD)sin A=[x(9-x)+x(5-x)]·=x(7-x) = =. 記g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5). ∴g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14) =2(x-7)·(2x2-7x-4)=2(x-7)(2x+1)(x-4), 令g′(x)=0,得x=4或x=7(舍)或x=-0.5(舍). ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減. ∴g(x)的最大值為g(4)=12×9=108,∴四邊形ABCD的面積S的最大值為=6, ∴所求四邊形ABCD面積的最大值為6平方米. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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