新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第六章 ：第四節(jié)基本不等式演練知能檢測

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第四節(jié)　基本不等式 [全盤鞏固] 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：選C　對選項A，當(dāng)x>0時，x2＋－x＝2≥0，∴l(xiāng)g≥lg x，故不成立；對選項B，當(dāng)sin x<0時顯然不成立；對選項C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；對選項D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1. 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋> C.＋≥2

2、 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 解析：選C　因為ab>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)． 3．函數(shù)y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 解析：選A　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝1＋時取等號．所以函數(shù)y＝(x>1)的最小值為2＋2. 4．(2014·洛陽模擬)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C.

3、 D. 解析：選B　依題意得x＋1>1,2y＋1>1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，則(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1時取等號，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值是4. 5．(2014·寧波模擬)若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 解析：選C　由x>0，y>0，知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時等號成立)，所以12xy＋3xy≤30，即xy≤2. 6．已知M是△ABC內(nèi)的一點，

4、且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值是(　　) A．20 B．18 C．16 D．19 解析：選B　由·＝||·||cos 30°＝2，得||·||＝4，S△ABC＝||·||sin 30°＝1， 由＋x＋y＝1，得x＋y＝.所以＋＝2·(x＋y)＝2≥2×(5＋2×2)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號． 所以＋y的最小值為18. 7．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數(shù)λ的最小值為________． 解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)

5、x＝2y時取等號)，即的最大值為2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值為2. 答案：2 8．(2014·杭州模擬)若正數(shù)x，y滿足2x＋y－3＝0，則的最小值為______． 解析：由已知可得2x＋y＝3，因此＝＋＝·＝，利用基本不等式可得＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)時取得等號． 答案：3[來源:] 9．(2014·日照模擬)規(guī)定記號“?”表示一種運算，即a?b＝＋a＋b(a、b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝的最小值為________． 解析：1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0， ∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1. f(x)＝＝＝1＋

6、＋≥1＋2＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1時等號成立． 答案：1　3 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0. 求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，∴≥8，即xy≥64. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y，即x＝16，y＝4時等號成立．[來源:] ∴xy的最小值為64.[來源:] (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴2x＋8y＝xy，即＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2 ＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝12時等號成立． ∴x＋y的最小值為18. 11．已知x

7、>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時，等號成立． 因此有解得 此時xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴當(dāng)x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴＋＝·＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立．[來源:] 由解得 ∴＋的最小值為. 12．某種商品原來每件定價為25元，年銷售量8萬件． (1)據(jù)

8、市場調(diào)查，若每件商品的價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？ (2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高每價商品的價格到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價． 解：(1)設(shè)該商品每件定價為t元， 依題意，有t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤

9、40. ∴要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為40元． (2)依題意，x>25時， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解， 等價于x>25時，a≥＋x＋有解．[來源:] ∵＋x≥2 ＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時，等號成立)，∴a≥10.2. ∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元． [沖擊名校] 1．設(shè)a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于(　　) A．0 B．4 C．－4 D．－2 解析：選C　由

10、＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，所以 －≤－4，因此要使k≥－恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實數(shù)k的最小值等于 －4. 2．已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________． 解析：log2a＋log2b＝log2ab.∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0. 3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取等號．∴3a＋9b的最小值為18. 答案：18 [高頻滾動] 1．若變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為(　　) A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0 解析：選B　可行域為直角三角形ABC(如圖)， 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由圖象可知，當(dāng)直線y＝－2x＋z過點B(2,0)和點A(1,0)時，z分別取到最大值4和最小值2. 2．設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是(　　) A．14 B．16 C．17 D．19 解析：選B　畫出可行域如圖． 其最優(yōu)解是點M(3,1)附近的整點．考慮到線性目標函數(shù)，只要橫坐標增加1即可．故最優(yōu)點為整點(4,1)，其最小值為16.