新版高三數學 第40練 數列中的易錯題

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2、 1 第40練 數列中的易錯題 訓練目標 (1)數列知識的深化應用；(2)易錯題目矯正練． 訓練題型 數列中的易錯題． 解題策略 (1)通過Sn求an，要對n＝1時單獨考慮；(2)等比數列求和公式應用時要對q＝1，q≠1討論；(3)使用累加、累乘法及相消求和時，要正確辨別剩余項，以免出錯. 一、選擇題 1．等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變

3、化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數也為定值的是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 2．已知等差數列：1，a1，a2,9；等比數列：－9，b1，b2，b3，－1.則b2(a2－a1)的值為(　　) A．8 B．－8 C．±8 D. 3．已知函數y＝f(x)，x∈R，數列{an}的通項公式是an＝f(n)，n∈N*，那么“函數y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增”是“數列{an}是遞增數列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．(20xx·撫州月考)設Sn為等差數列{an}的前n項和，

4、(n＋1)Sn0，則a2 013<0 B．若a4>0，則a2 014<0 C．若a3>0，則S2 013>0 D．若a4>0，則S2 014>0 6．已知數列{an}滿足：an＝(n∈N*)，且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是(　　) A．(，3) B．[，3) C．(1,3) D．(2,3)

5、7．(20xx·江南十校聯考)已知數列{an}的通項公式為an＝log3(n∈N*)，則使Sn<－4成立的最小自然數n為(　　) A．83 B．82 C．81 D．80 8．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，則“r＝1”是“數列{an}為等差數列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 二、填空題 9．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－2n－1，則數列{an}的通項公式為________________． 10．(20xx·遼寧五校聯考)已知數列{an}滿足an＝，則數

6、列{}的前n項和為________． 11．已知數列{an}是遞增數列，且對于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實數λ的取值范圍是________． 12．在數列{an}中，a1＝1，a2＝2，數列{anan＋1}是公比為q (q>0)的等比數列，則數列{an}的前2n項和S2n＝____________.  答案精析 1． C　[∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)為常數． ∴a1＋6d為常數．∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也為常數．] 2．B　[a2－a1＝d＝＝， 又b＝b1b3＝

7、(－9)×(－1)＝9， 因為b2與－9，－1同號，所以b2＝－3. 所以b2(a2－a1)＝－8.] 3．A　[由題意，函數y＝f(x)，x∈R， 數列{an}的通項公式是an＝f(n)，n∈N*. 若“函數y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增”， 則“數列{an}是遞增數列”一定成立； 若“數列{an}是遞增數列”， 則“函數y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增”不一定成立， 現舉例說明，如函數在[1,2]上先減后增，且在1處的函數值小．綜上，“函數y＝f(x)在[1，＋∞)上遞增”是“數列{an}是遞增數列”的充分不必要條件，故選A.] 4．D　[由(n＋1)Sn

8、， 得(n＋1)·0，a7<0， 所以數列{an}的前7項為負值， 即Sn的最小值是S7.] 5．C　[設an＝a1qn－1， 因為q2 010>0， 所以A，B不成立． 對于C，當a3>0時，a1>0， 因為1－q與1－q2 013同號， 所以S2 013>0，選項C正確， 對于D，取數列：－1,1，－1,1，…，不滿足結論， D不成立，故選C.] 6．D　[根據題意，an＝f(n)＝n∈N*，要使{an}是遞增數列，必有解得2

9、log3n－log3(n＋1)， ∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4， 解得n>34－1＝80.故最小自然數n的值為81.] 8．A　[當r＝1時，易知數列{an}為等差數列； 由題意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，當數列{an}是等差數列時，a2－a1＝a3－a2， 即2r－1＝2r2－r.解得r＝或r＝1， 故“r＝1”是“數列{an}為等差數列”的充分不必要條件．] 9．an＝ 解析　當n＝1時，a1＝S1＝－2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－3， 所以數列{an}的通項

10、公式為an＝ 10. 解析　an＝＝， 則＝＝4(－)， 所以所求的前n項和為4[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4(－)＝. 11．(－3，＋∞) 解析　因為數列{an}是單調遞增數列， 所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立． 又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立． 而n∈N*時，－(2n＋1)的最大值為－3(n＝1時)，所以λ的取值范圍為(－3，＋∞)． 12. 解析　∵數列{anan＋1}是公比為q (q>0)的等比數列， ∴＝q，即＝q， 這表明數列{an}的所有奇數項成等比數列， 所有偶數項成等比數列，且公比都是q， 又a1＝1，a2＝2， ∴當q≠1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝＋＝； 當q＝1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) 綜上所述：S2n＝