2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點55 兩圓的切線問題庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點55 兩圓的切線問題 要點闡述 1．判斷兩圓是否相切，利用兩圓的圓心距與兩圓半徑之和及差（或）是否相等作出判斷． 2．兩圓的不同位置關(guān)系對應(yīng)不同的公切線條數(shù)，因此可以由公切線的條數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系，即當兩圓內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離時，分別對應(yīng)的公切線有0條、1條、2條、3條、4條，反之亦成立． 典型例題 【例】半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x4)2＋(y－6)2＝36 【答案】D 【易錯易混】解方程應(yīng)該是兩個根，無丟解． 小試牛刀 1．圓與圓的公切線的條數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的圓心距，半徑分別為 ,則，即兩圓外離，因此它們有4條公切線． 【規(guī)律總結(jié)】兩圓公切線的條數(shù)： （1）兩圓相離，有四條公切線； （2）兩圓外切，有三條公切線，其中一條是內(nèi)公切線，兩條是外公切線； （3）兩圓相交，有兩條外公切線，沒有內(nèi)公切線； （4）兩圓內(nèi)切，有一條公切線； （5）兩圓內(nèi)含，沒有公切線． 2．已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為3㎝和4㎝，若O1O2=7㎝，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是_____________若O1O2=_____________兩圓相內(nèi)切_____________ 【答案】C 【解析】因為O1O2=7㎝=3cm+4cm,圓心距等于半徑和時，兩圓外切；當O1O2=4cm–3cm=1cm，兩圓相內(nèi)切． 3．已知圓C1，C2相切，圓心距為10，其中圓C1的半徑為4，則圓C2的半徑為__________． 【答案】6或14． 【解析】由題意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14． 4．兩個圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，則兩圓公切線的條數(shù)為__________． 【答案】2 5．求過點A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程__________．兩圓面積之比___________． 【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18，25:9． 【解析】將圓C化為標準方程，得 (x＋5)2＋(y＋5)2＝50，則圓心為C(－5，－5)，半徑為， 所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為x－y＝0． 設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由題意知，點O(0,0)、A(0,6)在此圓上，且圓心M(a，b)在直線x－y＝0上， 則有 于是所求圓的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18． 兩圓的半徑分別為，，半徑之比為5:3，面積之比為25:9． 6．判斷圓與圓的公切線條數(shù)． 【思路歸納】兩圓的公切線的條數(shù)是由兩圓的位置關(guān)系決定的，所以解決此類題目的關(guān)鍵是判斷兩圓的位置關(guān)系． 考題速遞 1．已知圓A，圓B相切，圓心距為10 cm，其中圓A的半徑為4 cm，則圓B的半徑為(　　) A．6 cm或14 cm B．10 cm C．14 cm D．無解 【答案】A 【解析】圓A與圓B相切包括內(nèi)切與外切， ∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14． 2．與兩圓和都相切的直線有（　?。? A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【答案】C 【解析】兩圓的圓心距為5，兩圓半徑和為5，故兩圓外切，因此，兩圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，共3條． 3．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心O2(2,1)．若圓O2與圓O1外切，圓O2的方程 ，并求內(nèi)公切線方程 ． 【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝12－8，x＋y＋1－2＝0． 4．已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上． （1）求圓M的方程； （2）設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值． 【解析】（1）設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 根據(jù)題意，得， 解得a＝b＝1，r＝2， 故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4． （2）因為四邊形PAMB的面積 S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|， 數(shù)學(xué)文化 鉆圈 雜技鉆圈中所用到的圈與圈之間是圓的外切關(guān)系