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考點測試10 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
高考概覽
考綱研讀
1．理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用
2．理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點
3．體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型
4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)
一、基礎小題
1．log225log32log59＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 原式＝＝＝6．故選D．
2．函數(shù)y＝的定義域是( )
A．[1，＋∞) B．
C． D．
答案 D
解析 log(3x－2)≥0＝log1，0<3x－2≤1，
1}，定義域不關于原點對稱，故該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選C．
5．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則f的值為( )
A．－log23 B．－log32 C． D．
答案 B
解析 由y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，知f(x)＝log3x，從而f＝log3＝－log32，故選B．
6．已知logb<－log2a<－2log4c，則( )
A．b>a>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c
答案 A
解析 因為－log2a＝loga，－2log4c＝logc，由logb<－log2a<－2log4c，知logba>c．故選A．
7．當00，不妨設log2x＝log3y＝log5z＝t，則x＝2t，y＝3t，z＝5t，所以x3＝23t＝8t，y5＝35t＝243t，z2＝52t＝25t，又y＝xt在(0，＋∞)上單調遞增，故x3最?。蔬xC．
10．計算：9－log95＝________．
答案
解析 9－log95＝99－log95＝3＝．
11．若a＝log43，則2a＋2－a＝________．
答案
解析 因為a＝log43，則4a＝3，即2a＝，所以2a＋2－a＝＋＝．
12．若函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1，2]
解析 當x≤2時，－x＋6≥4恒成立，要使得函數(shù)f(x)的值域為[4，＋∞)，只需f(x)＝3＋logax(x>2)的值域包含于[4，＋∞)，故a>1，又f(x)＝3＋logax在[2，＋∞)上單調遞增，所以f(x)>3＋loga2，所以3＋loga2≥4，解得1b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 由已知得c＝log23，∵log23>log2e>1，b＝ln 2<1，∴c>a>b，故選D．
14．(2018全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是( )
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)
答案 B
解析 函數(shù)y＝ln x過定點(1，0)，(1，0)關于x＝1對稱的點還是(1，0)，只有y＝ln (2－x)過此點，故選B．
15．(2017北京高考)根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0．48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
答案 D
解析 由題意，lg＝lg＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈3610．48－801＝93．28．
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故與最接近的是1093．故選D．
16．(2016全國卷Ⅰ)若a>b>1，0b>1，0bc，A錯誤；
∵0ac－1，又ab>0，∴abbc－1>abac－1，
即abc>bac，B錯誤；
易知y＝logcx是減函數(shù)，∴0>logcb>logca，
∴l(xiāng)ogbc－logac>0，又a>b>1>0，∴－alogbc>－blogac>0，∴alogbcb>1．若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＝________，b＝________．
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴0b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 ∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log＝log23>1，∴c>a>b，故選D．
22．(2018湖南張家界三模)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為( )
答案 A
解析 由題意，知函數(shù)f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)為單調遞減函數(shù)，當02，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為單調遞減函數(shù)；當a>1時，函數(shù)f(x)＝2－ax的零點x＝<2，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為單調遞增函數(shù)．綜上，選A．
23．(2018安徽安慶二模)設x，y，z均大于1，且logx＝logy＝logz，令a＝x，b＝y(tǒng)，c＝z，則a，b，c的大小關系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
答案 D
解析 令logx＝logy＝logz＝t(t>0)，則x＝()t，y＝()t，z＝()t，∴a＝2，b＝3，c＝5，
∵23<32，∴23<32?a0在x∈，1上恒成立，
又因為a>0，對稱軸為x＝<0，
由圖象可得h＝－>0，得a>．
3．(2018廣東深圳調研)已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2．
(1)求f＋f的值；
(2)當x∈(－a，a]，其中a∈(0，1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0，∴f＋f＝0．
(2)f(x)的定義域為(－1，1)，
∵f(x)＝－x＋log2，
當x∈(－1，1)時，f(x)為減函數(shù)，
∴當a∈(0，1)，x∈(－a，a]時f(x)單調遞減．
∴當x＝a時，f(x)min＝－a＋log2．
4．(2018河北石家莊二中模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4xa)＋bx(a，b∈R)．
(1)若a＝1，且f(x)是偶函數(shù)，求b的值；
(2)若f(x)在(－∞，－1)上有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)若a＝4，且A＝{x|f(x)＝(b＋1)(x＋1)}＝?，求實數(shù)b的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4x)＋bx＝2log2(1＋2x)＋bx．
又f(x)是偶函數(shù)，則f(x)－f(－x)＝0，
即2log2＋2bx＝0，
即2x＋2bx＝0，所以b＝－1．
(2)f(x)在(－∞，－1)上有意義，則對任意的x∈(－∞，－1)，1＋2x＋1＋4xa>0恒成立，
即對任意的x∈(－∞，－1)，a>－x－x－1恒成立．
設g(x)＝－x－x－1，由指數(shù)函數(shù)的單調性易得g(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，
所以g(x)g(x)對任意的x∈(－∞，－1)恒成立，得a≥－8，即實數(shù)a的取值范圍是[－8，＋∞)．
(3)當a＝4時，f(x)＝(b＋1)(x＋1)?log2(1＋2x＋1＋4x＋1)－x＝b＋1?log2＋2x＋2＋2＝b＋1．
由A＝?，可得方程log2＋2x＋2＋2＝b＋1無實根．
因為＋2x＋2＋2≥2＋2＝6，所以log2＋2x＋2＋2≥log26，
所以當b＋1
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