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數形結合思想專練
一、選擇題
1．若f(x)是偶函數，且在(0，＋∞)上是增函數，又f(－3)＝0，則xf(x)<0的解集是( )
A．{x|－3
3}
B．{x|x<－3或03}
D．{x|－30)型函數，作出其簡圖如圖所示．從圖象可以看出f(x)的圖象關于點(1，2)成中心對稱；其在區(qū)間(－∞，1)和(1，＋∞)上均是減函數；沒有能使AB∥x軸的點存在．即只有A正確．故選A．
5．定義在實數集R上的函數f(x)，滿足f(x)＝f(4－x)＝f(x－4)，當x∈[0，2]時，f(x)＝3x－x－1，則函數g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|的零點個數為( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 B
解析 由題意知，f(x)是偶函數，圖象關于直線x＝2對稱，周期是4．當x∈[0，2]時，f(x)＝3x－x－1，f′(x)＝3xln 3－1，則f′(x)≥0在[0，2]上恒成立，由此作出函數f(x)的圖象．在同一坐標系中作出函數y＝|log2(x－1)|的圖象，由圖象知，兩函數圖象共有32個交點，則函數g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|共有32個零點，故選B．
二、填空題
6．當x∈(1，2)時，(x－1)20)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，求m的最大值．
解 根據題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3，4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m．
因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m．要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．
因為|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值為6．
11．已知a>0，函數f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．
(1)當a＝1時，求所有使f(x)＝x成立的x的值；
(2)當a∈(0，3)時，求函數y＝f(x)在閉區(qū)間[1，2]上的最小值．
解 (1)當a＝1時，因為x|x－1|＋1＝x，
所以x＝－1或x＝1．
(2)f(x)＝
(其示意圖如圖所示)
①當00，所以當x＝1時，g(x)取極小值g(1)＝．
(1)當a＝0時，方程F(x)＝a2不可能有4個解；
(2)當a<0時，因為f′(x)＝3a(x2－1)，若x∈(－∞，0]時，f′(x)＝3a(x2－1)，當x∈(－1，0]時，f′(x)>0，當x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0，所以當x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖1所示，從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有4個解；
(3)當a>0時，當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0，當x∈(－1，0]時，f′(x)<0，所以當x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖2所示，從圖象看出方程F(x)＝a2若有4個解，則，所以實數a的取值范圍是．
分類討論思想專練
一、選擇題
1．已知二次函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－3，2]上的最大值為4，則a等于( )
A．－3 B．－ C．3 D．或－3
答案 D
解析 當a>0時，f(x)在[－3，－1]上單調遞減，在[－1，2]上單調遞增，可知當x＝2時，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝．當a<0時，易知f(x)在x＝－1處取得最大值，即－a＋1＝4，所以a＝－3．綜上可知，a＝或－3．故選D．
2．(2018河南洛陽一模)函數f(x)＝
若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能值為( )
A．1 B．1，－ C．－ D．1，
答案 B
解析 f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，則需f(a)＝1．當a≥0時，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1；當－10且a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．0，
答案 D
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有兩個不同實數根轉化為函數y＝|ax－1|與y＝2a有兩個交點．
①當01時，如圖2，而y＝2a>1不符合要求．
綜上00且a≠1，函數f(x)＝存在最小值，則f(2a)的取值范圍為( )
A．[3，＋∞) B．[2，＋∞) C．(1，2] D．(1，3]
答案 A
解析 當a＞1時，f(x)的值域為[2，＋∞)∪(1＋loga2，＋∞)；當0＜a＜1時，f(x)的值域為[2，＋∞)∪(－∞，1＋loga2)．由f(x)存在最小值知a＞1且1＋loga2≥2，所以a∈(1，2]，因而f(2a)＝1＋loga(2a)＝1＋loga2＋logaa≥3．故選A．
5．(2018福建質檢)已知A，B分別為橢圓C的長軸端點和短軸端點，F(xiàn)是C的焦點．若△ABF為等腰三角形，則C的離心率為( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 設橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，則|BF|2＝|OF|2＋|OB|2＝c2＋b2＝a2，|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝a2＋b2，所以|AB|＞|BF|．
①如圖，點F與A，B同側時．|AF|＝a－c，|BF|＝a，所以|AF|＜|BF|，所以|AB|＞|BF|＞|AF|，所以△ABF不能構成等腰三角形．
②如圖，點F與A，B異側時．|AB|＝，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，所以|AF|＞|BF|，|AB|＞|BF|．所以|AF|＝|AB|，故(a＋c)2＝a2＋b2，即(a＋c)2＝2a2－c2，整理得2e2＋2e－1＝0，e＝．又0＜e＜1，所以離心率e＝．故選A．
6．在約束條件下，當3≤s≤5時，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是( )
A．[6，15] B．[7，15] C．[6，8] D．[7，8]
答案 D
解析 由?取點A(2，0)，B(4－s，2s－4)，C(0，s)，C′(0，4)．
①當3≤s<4時，可行域是四邊形OABC(含邊界)，如圖1所示，此時，7≤zmax<8．
②當4≤s≤5時，此時可行域是△OAC′，如圖2所示，zmax＝8．綜上，z＝3x＋2y最大值的變化范圍是[7，8]．故選D．
二、填空題
7．一條直線過點(5，2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為________________．
答案 x＋y－7＝0或2x－5y＝0
解析 設該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當a＝0時，直線過原點，此時直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當a≠0時，設直線方程為＋＝1，則求得a＝7，方程為x＋y－7＝0．
8．在等比數列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________．
答案 或6
解析 當q＝1時，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，顯然成立；當q≠1時，由題意，得
所以可得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－，此時，a1＝＝6．綜上可知，a1＝或6．
9．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________．
答案?。?
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數取得極值10，得
聯(lián)立①②得或
當a＝4，b＝－11時，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1兩側的符號相反，符合題意．
當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側的符號相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去．
綜上可知a＝4，b＝－11，所以a＋b＝－7．
三、解答題
10．(2018廣東三校聯(lián)考)設各項不為0的數列{an}中，前n項和為Sn，且a1＝－29，2Sn＝anan＋1．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值．
解 (1)∵a1＝－29，2Sn＝anan＋1，①
∴2Sn＋1＝an＋1an＋2，②
②－①得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，
∵an≠0，∴an＋2－an＝2，
∴數列{an}的奇數項成等差數列，又a1＝－29，
∴當n為奇數時，an＝a1＋2＝n－30；
在①中，令n＝1，得2S1＝2a1＝a1a2，∴a2＝2，
又數列{an}的偶數項成等差數列，
∴當n為偶數時，an＝a2＋2＝n；
∴an＝
(2)由(1)可知當n為偶數時，an＝n>0，
∴要使Sn最小，其中n必然是奇數．
∴當n為奇數時，
Sn＝＋
＝，
且y＝x2－29x－30的圖象的對稱軸為x＝＝14．5，
∵n∈N*，且n是奇數，
∴當n＝15時，Smin＝S15＝＝－120．
11．如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB所在直線為軸轉動．
(1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD；
(2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論．
解 (1)取AB的中點E，連接DE，CE，
∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB．
當平面ADB⊥平面ABC時，
∵平面ADB∩平面ABC＝AB，
∴DE⊥平面ABC，可得DE⊥CE．
由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，
CD＝＝2．
(2)當△ADB以AB所在直線為軸轉動時，總有AB⊥CD．
證明：①當D在平面ABC內時，∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C，D都在線段AB的垂直平分線上，則AB⊥CD．
②當D不在平面ABC內時，由①知AB⊥DE．
又∵AC＝BC，∴AB⊥CE．
又DE，CE為相交直線，∴AB⊥平面CDE，
由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
綜上所述，總有AB⊥CD．
12．(2018湖南六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)在第一象限內的點P(t，2)到焦點F的距離為，且向量在向量上的投影為正數(O為坐標原點)．
(1)若M－，0，過點M，P的直線l1與拋物線相交于另一點Q，求的值；
(2)若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點，與圓M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E兩點，OA⊥OB，試問：是否存在實數a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)將點P(t，2)代入y2＝2px得t＝，
由點P到焦點F的距離為及拋物線的定義，得＋＝，
解得p＝1或4．
當p＝1時，y2＝2x，F(xiàn)，0，P(2，2)滿足向量在向量上的投影為正數；
當p＝4時，y2＝8x，F(xiàn)(2，0)，P，2，此時向量在向量上的投影為負數，舍去．
故拋物線C的方程為y2＝2x，F(xiàn)，0，P(2，2)．
∴直線l1的方程為y＝x＋，
聯(lián)立y2＝2x，可得xQ＝，
又∵|QF|＝xQ＋，|PF|＝xP＋，
∴＝＝．
(2)設直線l2的方程為x＝ty＋m(m≠0)，
代入拋物線方程可得y2－2ty－2m＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2＝0，
整理得(t2＋1)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝0，②
將①代入②解得m＝2，
∴直線l2：x＝ty＋2，
∵圓心M(a，0)到直線l2的距離為d＝，
∴|DE|＝2，
顯然當a＝2時，|DE|＝2，|DE|的長為定值．
13．(2018廣東華師大附中測試二)已知函數f(x)＝2(a－1)x＋b．
(1)討論函數g(x)＝ex－f(x)在區(qū)間[0，1]上的單調性；
(2)已知函數h(x)＝ex－xf－1，若h(1)＝0，且函數h(x)在區(qū)間(0，1)內有零點，求a的取值范圍．
解 (1)由題意得g(x)＝ex－2(a－1)x－b，
所以g′(x)＝ex－2(a－1)．
當a≤時，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上單調遞增；
當a≥＋1時，g′(x)≤0，
所以g(x)在[0，1]上單調遞減；
當0，g(1)＝e－2a＋2－b>0，
由h(1)＝0，得a＋b＝e，g＝＋1－e<0．
又g(0)＝a－e＋1>0，g(1)＝2－a>0，
解得e－1
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