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2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(第2課時)正弦定理和余弦定理學案(含解析)新人教B版必修5.docx

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2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(第2課時)正弦定理和余弦定理學案(含解析)新人教B版必修5.docx

第2課時正弦定理和余弦定理學習目標1.熟練掌握正弦、余弦定理及其變形形式.2.掌握用兩邊夾角表示的三角形面積.3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題知識點一正弦定理、余弦定理及常見變形1正弦定理及常見變形(1)2R(其中R是ABC外接圓的半徑);(2)a2RsinA;(3)sinA,sinB,sinC.2余弦定理及常見變形(1)a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC;(2)cosA,cosB,cosC.知識點二用兩邊夾角表示的三角形面積公式一般地,三角形面積等于兩邊及夾角正弦乘積的一半,即SABCabsin Cbcsin Aacsin B.思考1SABCabsinC中,bsinC的幾何意義是什么?答案BC邊上的高思考2如何用AB,AD,角A表示ABCD的面積?答案SABCDABADsinA.1當b2c2a2>0時,ABC為銳角三角形()2ABC中,若cos2Acos2B,則AB.()3在ABC中,恒有a2(bc)22bc(1cosA)()4ABC中,若c2a2b2>0,則角C為鈍角()5ABC的面積Sabc(其中R為ABC外接圓半徑)()題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中,若ccosBbcosC,cosA,求sinB的值解由ccosBbcosC,結(jié)合正弦定理,得sinCcosBsinBcosC,故sin(BC)0,0<B<,0<C<,<BC<,BC0,BC,故bc.cosA,由余弦定理可知,a2b2c22bccosA2b22b2b2,得3a22b2,再由余弦定理,得cosB,故sinB.引申探究1對于本例中的條件,ccosBbcosC,能否使用余弦定理?解由余弦定理,得cb.化簡得a2c2b2a2b2c2,c2b2,從而cb.2本例中的條件ccosBbcosC的幾何意義是什么?解如圖,作ADBC,垂足為D.則ccosBBD,bcosCCD.ccosBbcosC的幾何意義為邊AB,AC在BC邊上的射影相等反思感悟(1)邊、角互化是處理三角形邊、角混合條件的常用手段(2)解題時要畫出三角形,將題目條件直觀化,根據(jù)題目條件,靈活選擇公式跟蹤訓練1在ABC中,已知b2ac,a2c2acbc.(1)求A的大小;(2)求的值解(1)由題意及余弦定理知,cosA,A(0,),A.(2)由b2ac,得,sinBsinBsinA.題型二求三角形面積例2在ABC中,已知BC6,A30,B120,則ABC的面積為()A9B18C9D18答案C解析由正弦定理得,AC6.又C1801203030,SABCACBCsin C669.反思感悟求三角形面積,主要用兩組公式(1)底高(2)兩邊與其夾角正弦的乘積的一半選用哪組公式,要看哪組公式的條件已知或易求跟蹤訓練2在ABC中,已知tanA,當A時,ABC的面積為答案解析|cosAtanA,|,SABC|sinAtan2A.題型三利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中,已知a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若,試判斷三角形的形狀解方法一由正弦定理知,a2Rsin A,b2Rsin B,R為ABC外接圓半徑,sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A,sin Bcos Bsin Acos A,sin 2Bsin 2A,2A2B或2A2B,即AB或AB,ABC為等腰三角形或直角三角形方法二由,得11,由余弦定理,得,.a2(b2c2a2)b2(a2c2b2),a2c2a4b2c2b4,c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟(1)要結(jié)合題目特征靈活選擇使用正弦定理還是使用余弦定理(2)變形要注意等價性,如sin2Asin2B2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)c2a2b2.跟蹤訓練3在ABC中,若sin2Asin2B<sin2C,則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定答案C解析由正弦定理知,sinA,sinB,sinC.sin2Asin2B<sin2C可化為a2b2<c2,a2b2c2<0.cosC<0.角C為鈍角,ABC為鈍角三角形題型四利用正弦、余弦定理進行求值、化簡和證明例4在ABC中,有(1)abcosCccosB;(2)bccosAacosC;(3)cacosBbcosA,這三個關(guān)系式也稱為射影定理,請給出證明證明方法一(1)由正弦定理,得b2RsinB,c2RsinC,bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2R(sinBcosCcosBsinC)2Rsin(BC)2RsinAa.即abcosCccosB.同理可證(2)bccosAacosC;(3)cacosBbcosA.方法二(1)由余弦定理,得cosB,cosC,bcosCccosBbca.abcosCccosB.同理可證(2)bccosAacosC;(3)cacosBbcosA.反思感悟證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式,可以考慮兩種途徑:一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化,余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化;二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系跟蹤訓練4在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a4,b5,c6,則.答案1解析由余弦定理得cosA,所以1.求三角形一角的值典例在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a2c2b2)tanBac,則角B的值為()A.B.或C.D.或答案B解析cosB,a2c2b22accosB,代入已知等式得2accosBtanBac,即sinB,則B或.素養(yǎng)評析選擇運算方法是數(shù)學運算素養(yǎng)的內(nèi)涵之一運算從一點出發(fā)可以有無限個方向一個式子也可以有無限個變形,逐個試探肯定不現(xiàn)實那么如何選擇運算方向才能算得出,算得快?要點有3個:公式要熟,如本例至少應知道cos B,tan B.觀察聯(lián)想,如看到a2c2b2應聯(lián)想到a2c2b22accos B.權(quán)衡選擇,如本例也可把所有的邊都化為相應角的正弦,但權(quán)衡運算繁簡,不如整體把a2c2b2化為2accos B簡單.1在ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a4,b3,C60,則ABC的面積為()A3B3C6D6答案B解析SABCabsinC43sin603.2在ABC中,若b2a2c2ac,則B等于()A60B45或135C120D30答案C解析b2a2c22accosBa2c2ac,ac2accosB,cosB,又0<B<180,B120.3在ABC中,角A,B,C所對的邊的長分別為a,b,c,若asinAbsinB<csinC,則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案C解析根據(jù)正弦定理可得a2b2<c2.由余弦定理得cosC<0,故C是鈍角,ABC是鈍角三角形4在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且ccosAacosC2c,若ab,則sinB等于()A.B.C.D.答案A解析ccos Aacos C2c,由正弦定理可得sin Ccos Asin Acos C2sin C,sin(AC)2sin C,sin B2sin C,b2c,又ab,a2c.cos B,B(0,),sin B.1熟悉正弦、余弦定理的各種變形,注意觀察題目條件的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)這些特征盡量使用正弦、余弦定理各種變形整體代換,可以有效減少計算量2對所給條件進行變形,主要有兩種方向(1)化邊為角(2)化角為邊3(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化一、選擇題1若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段()A能組成直角三角形B能組成銳角三角形C能組成鈍角三角形D不能組成三角形答案B解析設(shè)最大角為,則最大邊對應的角的余弦值為cos>0,所以能組成銳角三角形2已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2b22a2ac2c2,則sinB等于()A.B.C.D.答案A解析由2b22a2ac2c2,得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理,得a2c2b22accosB,4accosBac0.ac0,4cosB10,cosB,又B(0,),sinB.3在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a,b3,A60,則邊c等于()A1B2C4D6答案C解析a2c2b22cbcos A,13c292c3cos 60,即c23c40,解得c4或c1(舍去)4若ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(ab)2c24,且C60,則ab的值為()A.B84C1D.答案A解析由余弦定理c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC,(ab)2c22ab(1cosC)2ab(1cos60)3ab4,ab.5已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c2b2ab,C,則的值為()A.B1C2D3答案C解析由余弦定理得c2b2a22abcosCa2abab,所以a2b,所以由正弦定理得2.6在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bc2a,3sinA5sinB,則C等于()A.B.C.D.答案C解析由正弦定理和3sinA5sinB,得3a5b,即ba,又bc2a,ca,由余弦定理得cosC,C.7在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c2(ab)26,C,則ABC的面積是()A.B.C.D3答案C解析由題意得c2a2b22ab6,由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b2ab,2ab6ab,即ab6.SABCabsinC.8在ABC中,ABC,AB,BC3,則sinBAC等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中,由余弦定理,得AC2BA2BC22BABCcosABC()23223cos5.AC,由正弦定理,得sinBAC.二、填空題9若ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,asinAcsinCasinCbsinB,則B.答案45解析由正弦定理,得a2c2acb2,由余弦定理,得b2a2c22accosB,故cosB.又因為B為三角形的內(nèi)角,所以B45.10在ABC中,角A,B,C的對邊a,b,c滿足b2c2a2bc,且bc8,則ABC的面積為答案2解析因為b2c2a2bc,所以cosA,所以A,三角形面積SbcsinA82.11在ABC中,a2b2bc,sinC2sinB,則A.答案30解析由sinC2sinB及正弦定理,得c2b,把它代入a2b2bc,得a2b26b2,即a27b2.由余弦定理,得cosA,又0<A<180,所以A30.三、解答題12.如圖,在ABC中,D是邊AC上的點且ABAD,2ABBD,BC2BD,求sin C的值解設(shè)ABa,則ADa,BD,BC2BD,cosA,A,sinA.由正弦定理,得sinCsinA.13已知在ABC中,BC15,ABAC78,sinB,求BC邊上的高AD的長解在ABC中,設(shè)AB7x,則AC8x,由正弦定理,得,則sinC,因為0<C<180,AB<AC,所以C60或C120(舍去)再由余弦定理,得(7x)2(8x)215228x15cos60,即x28x150,解得x3或x5,所以AB21或AB35.當AB21時,AC24,當AB35時,AC40,均可與BC15構(gòu)成三角形在ABD中,ADABsinBAB,所以AD12或AD20.14在ABC中,關(guān)于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有兩個不等的實根,則A為()A銳角B直角C鈍角D不存在答案A解析由方程可得(sinAsinC)x22xsinBsinAsinC0.方程有兩個不等的實根,4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理,代入不等式中得b2a2c20,再由余弦定理,有2bccosAb2c2a20.0<A<90,A為銳角15在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC,試判斷ABC的形狀解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C,2a2(2bc)b(2cb)c,即bcb2c2a2,cos A.0<A<180,A60.(2)ABC180,BC18060120,由sin Bsin C,得sin Bsin(120B),sin Bsin 120cos Bcos 120sin B,sin Bcos B,即sin(B30)1.又0<B<120,30<B30<150,B3090,即B60,ABC60,ABC為正三角形

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