新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第8章 第2節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，

2、l1⊥l2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解． 3．距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離|P1P2| d＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與

3、l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)若點P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點，則P，Q兩點的最小距離就是兩條平行線的距離．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　) A.　　　　 B．2－ C.－1

4、 D．＋1 C　[由題意得＝1，即|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1.] 3．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點________． (2，－2)　[直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過定點(2，－2)．] 4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962375】 2　[由＝－2，得a＝2.] 5．(20xx·唐山調(diào)研)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距

5、離為________． 　[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3， ∴a＝3或a＝－1. 但a＝3時，l1與l2重合，舍去， ∴a＝－1，則l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0. 故l1與l2間的距離d＝＝.] 兩條直線的平行與垂直 　(1)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則直線xsin A＋ay＋c＝0與直線bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系

6、是(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 (1)A　(2)B　[(1)當(dāng)a＝1時，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0， 所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件． (2)在△ABC中，由正弦定理＝， 得·＝1. 又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－， bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝， 因此k1·k2＝·＝－1，兩條直線垂直．] [規(guī)律方法]　1.判定直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要

7、注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件． 2．在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免討論．另外當(dāng)A2B2C2≠0時，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，有時比較方便． [變式訓(xùn)練1]　已知過點A(－2，m)和點B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為(　　) A．－10　　　B．－2　　　C．0　　　D．8 A　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1， 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.] 兩直線

8、的交點與距離問題 　(1)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (2)過點P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點，求此直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：57962376】 (1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程

9、為x＝－1，也符合題意． 法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－，直線l的方程為 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過AB中點時，AB的中點為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] (2)設(shè)直線l與l1的交點為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點B(6－x0，－y0)， 2分 由題意知解得 6分 即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 10分 直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程；也

10、可利用過交點的直線系方程，再求參數(shù)． 2．利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． [變式訓(xùn)練2]　若直線l過點A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點，且|AB|＝5，求直線l的方程． [解]?、龠^點A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組求得B點坐標(biāo)為(1,4)， 此時|AB|＝5，即直線l的方程為x＝1. 4分 ②設(shè)過點A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組 得x＝且y＝(k≠－2，否則

11、l與l1平行)． 則B點坐標(biāo)為. 8分 又A(1，－1)，且|AB|＝5， 所以＋＝52，解得k＝－. 10分 因此y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 12分 對稱問題 　(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是________． (2)光線從A(－4，－2)點射出，到直線y＝x上的B點后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(－1,6)，則BC所在的直線方程是________． (1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直

12、線l上任取一點P′(x，y)，其關(guān)于點(1,1)的對稱點P(2－x,2－y)必在直線y＝2x＋1上， ∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0. 因此，直線l的方程為y＝2x－3. 法二：由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0(c≠1)，則點(1,1)到兩平行線的距離相等， ∴＝，解得c＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3. 法三：在直線y＝2x＋1上任取兩個點A(0,1)，B(1,3)，則點A關(guān)于點(1,1)對稱的點M(2,1)，B關(guān)于點(1,1)對稱的點N(1，－1)．由兩點式求出對稱直線MN的方程為＝，即y＝2x－3. (2)作出草圖

13、，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對稱點為A′，D關(guān)于y軸的對稱點為D′， 則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C. 故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.] [遷移探究1]　在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對稱點”，則結(jié)果如何？ [解]　設(shè)點A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對稱點為A′(a，b)， 2分 則AA′的中點為，4分 所以解得 10分 故點A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對稱點為. 12分 [遷移探究2]　在題(1)中“關(guān)于點(1,1)對稱”改為“關(guān)于直線x－y

14、＝0對稱”，則結(jié)果如何？ [解]　在直線y＝2x＋1上任取兩個點A(0,1)，B(1,3)，則點A關(guān)于直線x－y＝0的對稱點為M(1,0)，點B關(guān)于直線x－y＝0的對稱點為N(3,1)， 6分 ∴根據(jù)兩點式，得所求直線的方程為＝，即x－2y－1＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點的中心對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱． 2．解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點問題，關(guān)鍵是要抓住兩點，一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·廣州模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＋y－

15、2＝0對稱的直線方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 B　[由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0的交點坐標(biāo)為(1,1)． 在直線x－2y＋1＝0上取點A(－1,0)， 設(shè)A點關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點為B(m，n)， 則解得 故所求直線的方程為＝，即2x－y－1＝0.] [思想與方法] 1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意． 2．對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱，點與線的對稱，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． [易錯與防范] 1．判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮． 2．(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式； (2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的 系數(shù)對應(yīng)相等．