新編高考數(shù)學復習：第六章 ：第一節(jié)不等關系與不等式突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第一節(jié)　不等關系與不等式 考點一 比 較 大 小 　 [來源:] [例1]　(1)已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，則f(a)與f(b)的大小關系是(　　) A．f(a)>f(b)　　 　　　　B．f(a)”或“<”)． [自主解答]　(1)法一：∵f(a)＝，f(b)＝， ∴f(a)－f(b)＝－＝m2 ＝m2·＝m2·， 當m＝0時，f(a)＝f(b)； 當m

2、≠0時，m2>0， 又a>b>1，∴f(a)0,1618>0，∴1816<1618. 即ab>1”改為“a

3、＝0時，f(a)＝f(b)； 當m≠0時，m2>0，又a0，a－1<0，b－1<0， ∴f(a)>f(b)． 故f(a)≥f(b)．　 【方法規(guī)律】[來源:] 比較大小的常用方法 (1)作差法 一般步驟是：①作差；②變形；③定號；④結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大??；④結論(注意所比較的兩個數(shù)的符號)． (3)特殊值法 若是選擇題、填空題可以用特殊值法比較大小；若是解答題，可以用特殊值法探究

4、思路． 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關系是(　　) A．MN C．M＝N D．不確定 解析：選B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N. 2．當a>0，b>0且a≠b時，比較aabb與abba的大?。? 解：＝aa－bbb－a＝aa－ba－b

5、＝a－b. ∵當a>b，即>1時，a－b>1， ∴aabb>abba. 當a1， ∴aabb>abba. ∴當a>0，b>0且a≠b時，aabb>abba. 高頻考點 考點二 不等式性質的簡單應用　　 　 1．不等式性質的考查主要以客觀題為主，難度中等偏下． 2．高考對不等式性質的考查有以下幾個命題角度： (1)與充要條件相結合命題； (2)與命題真假的判斷相結合命題； (3)求代數(shù)式的取值范圍． [例2]　(1)(2013·天津高考)設a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a

6、 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2013·北京高考)設a，b，c∈R，且a>b，則(　　) A．ac>bc B.< C．a2>b2 D．a3>b3[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (3)(2012·湖南高考)設a>b>1，c<0，給出下列三個結論： ①>；②acloga(b－c)． 其中所有正確結論的序號是(　　) A．① B．①② C．②③

7、 D．①②③ (4)(2014·南通模擬)設x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是________． [自主解答]　(1)(a－b)·a2<0，則必有a－b<0，即a0>b時，顯然B不正確；C選項，當a＝1，b＝－2時，a2b時，有a3>b3，D是正確的． (3)由不等式性質及a>b>1，知<，又c<0，所以>，①正確；

8、由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，知②正確；由a>b>1，c<0，知a－c>b－c>1－c>1，由對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，知③正確． (4)∵4≤≤9，∴≤≤，∴≤≤. 又∵3≤xy2≤8，而＝＝，且≤xy2·≤，∴2≤≤27. [答案]　(1)A　(2)D　(3)D　(4)27 不等式性質的應用問題的常見類型及解題策略 (1)與充要條件相結合問題．用不等式的性質分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應用． (2)與命題真假判斷相結合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法． (3)求代數(shù)式的取值范圍．要注意不等式同向可乘性的適用條件以及整體思想的

9、運用． 1．已知a>b>0，給出下列四個不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解析：選A　由a>b>0，可得a2>b2，①成立；由a>b>0，可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2·(－)>0，∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，則a3＋b3<2a2b，④不成立．

10、 2．若a>0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中正確的命題為________． 解析：∵a>0>b，c0，則ad0>b>－a，知a>－b>0，又－c>－d>0， 因此a·(－c)>(－b)·(－d)，即ac＋bd<0， ∴＋＝<0，故②正確； 顯然a－c>b－d，∴③正確； ∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，∴④正確． 答案：②③④[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 考點三 不等式與函數(shù)、方程的綜合問題 　 [例3]　已知f(x)是定義在(

11、－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得f(m－sin x)≤f對定義域內的一切實數(shù)x均成立？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由． [自主解答]　假設實數(shù)m存在，依題意，可得 即 因為sin x的最小值為－1，且－2的最大值為0，要滿足題意， 必須有 解得m＝－或≤m≤3. 所以實數(shù)m的取值范圍是∪. 不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min；m≥f(x)恒成立，只需m≥f(x)max. 已知奇函數(shù)f(x)在R上是單調遞減函數(shù)，α，β，γ∈R，α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，說明：f(α)＋f(β)＋

12、f(γ)的值與0的關系． 解：由α＋β>0，得α>－β， ∵f(x)在R上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)， ∴f(α)b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時，取“＝”)． (3)“a>b>0?an>bn(n∈N*，n>1)”成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)，a>b>0”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個條件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就會出現(xiàn)“3－1>2－1”的錯誤結論；假如去掉“b>0”這個條件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就會出現(xiàn)“32>(－4)2”的錯誤結論．