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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第4講 古典概型
一、選擇題
1．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次5點(diǎn)向上的概率是( )
A. B. C. D.
解析 拋擲3次，共有6×6×6＝216個(gè)事件．一次也不出現(xiàn)5，則每次拋擲都有5種可能，故一次也未出現(xiàn)5的事件總數(shù)為5×5×5＝125.于是沒(méi)有出現(xiàn)一次5點(diǎn)向上的概率P＝，所求的概率為1－＝.
答案 D
2．一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球，如果從中任取兩個(gè)球，則恰好取到
2、兩個(gè)同色球的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 基本事件有C＝10個(gè)，其中為同色球的有C＋C＝4個(gè)，故所求概率為＝.
答案 C
3．甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 (甲送給丙，乙送給丁)，(甲送給丁，乙送給丙)，(甲、乙都送給丙)，(甲、乙都送給丁)，共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種，所以P＝＝.
答案 A
4．甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)
3、頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)等可能的基本事件．兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對(duì)角線)，包括10個(gè)基本事件，所以概率等于.
答案 C
5．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1 000個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄穑瑒t任意取出一個(gè)正方體其三面涂有油漆的概率是( )．
A. B.
4、 C. D.
解析 小正方體三面涂有油漆的有8種情況，故所求其概率為：＝.
答案 D
6．將號(hào)碼分別為1,2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為 ( )．
A. B. C. D.
解析 由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果有4×4＝16個(gè)．其中滿足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4個(gè)，所以所求概率為.
答案 C
5、二、填空題
7．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為_(kāi)_______．
解析 由題意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個(gè)，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點(diǎn)有(2,1)，(2,2)，所以概率為＝.
答案
8. 現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 ．
解析 組成滿足條件的數(shù)列為：從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種，其中小于的取法共有種，因此取出
6、的這個(gè)數(shù)小于的概率為.
答案
9．甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中6個(gè)選擇題，4 個(gè)判斷題，甲、乙二人依次各抽一題，則甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是________．
解析 方法1：設(shè)事件A：甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題．將A分拆為B：“甲選乙判”，C：“甲選乙選”，D：“甲判乙選”三個(gè)互斥事件，
則P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)．
而P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)＝＋＋＝＝.
方法2：設(shè)事件A：甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題，則其對(duì)立事件為：
甲乙兩人均抽判斷題．∴P()＝＝，∴P(A)＝1－＝＝.
故
7、甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率為.
答案
10．三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．
解析 根據(jù)條件求出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．因?yàn)槊咳硕紡娜齻€(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)，有(C)3種選法，其中“有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同”的基本事件有CCC個(gè)，故所求概率為＝.
答案
三、解答題
11．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．
(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目
8、；
(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，
①列出所有可能的抽取結(jié)果；
②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．
解 (1)由分層抽樣的定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝2；從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝1.故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.
(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5,1所大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A
9、2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．
②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．
所以P(B)＝＝.
12．從某小組的2名女生和3名男生中任選2人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)．
(1)求所選2人中恰有一名男生的概率；
(2)求所選2人中至少有一名女生的概率．
解析 設(shè)2名女生為a1，a2,3名男生為b1，b2，b3，從中選出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2
10、)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10種．
(1) 設(shè)“所選2人中恰有一名男生”的事件為A，則A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6種，
∴P(A)＝＝，
故所選2人中恰有一名男生的概率為.
(2)設(shè)“所選2人中至少有一名女生”的事件為B，則B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7種，
∴P(B)＝，
故所選2人中至少有一名女生的概率為.
13．袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依
11、次被編號(hào)為1,2,3，…，6，設(shè)編號(hào)為n的球重n2－6n＋12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響)．
(1)從袋中任意取出一個(gè)球，求其重量大于其編號(hào)的概率；
(2)如果不放回的任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率．
解 (1)若編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào)．
則n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.
解得n<3或n>4.
∴n＝1,2,5,6.∴從袋中任意取出一個(gè)球，其重量大于其編號(hào)的概率P＝＝.
(2)不放回的任意取出2個(gè)球，這兩個(gè)球編號(hào)的所有可能情形共有C＝15種．
設(shè)編號(hào)分別為m與n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量
12、相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.
∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.
滿足m＋n＝6的情形為(1,5)，(2,4)，共2種情形．
由古典概型，所求事件的概率為.
14．某省實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有特級(jí)教師10名，其中男性6名，女性4名，現(xiàn)在要從中抽調(diào)4名特級(jí)教師擔(dān)任青年教師培訓(xùn)班的指導(dǎo)教師，由于工作需要，其中男教師甲和女教師乙不能同時(shí)被抽調(diào)．
(1)求抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師的概率；
(2)若抽到的女教師的人數(shù)為ξ，求P(ξ≤2)．
解 由于男教師甲和女教師乙不能同時(shí)被抽調(diào)，所以可分以下兩種情況：
①若
13、甲和乙都不被抽調(diào)，有C種方法；
②若甲和乙中只有一人被抽調(diào)，有CC種方法，故從10名教師中抽調(diào)4人，且甲和乙不同時(shí)被抽調(diào)的方法總數(shù)為C＋CC＝70＋112＝182.這就是基本事件總數(shù)．
(1)記事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且恰有2名男教師，2名女教師”為A，因?yàn)楹信處煴?，所以再?gòu)呐處熤谐槿∫蝗耍舫榈降氖桥處熞?，則男教師甲不能被抽取，抽調(diào)方法數(shù)是C；若女教師中抽到的不是乙，則女教師的抽取方法有C種，男教師的抽取方法有C種，抽調(diào)的方法數(shù)是CC.故隨機(jī)事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師”含有的基本事件的個(gè)數(shù)是C＋CC＝40.
根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得P(A)＝＝.
(2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，則選出的4人中，可以含有女教師乙，這時(shí)取法為CC種，也可以不含女教師乙，這時(shí)有CC種，故P(ξ＝3)＝＝＝；
若ξ＝4，則選出的4名教師全是女教師，必含有乙，有C種方法，故P(ξ＝4)＝＝，于是P(ξ≤2)＝1－－＝＝.
新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十一章】統(tǒng)計(jì)與概率 第4講古典概型
