新編高考數學浙江專用總復習教師用書：第2章 第3講　函數的奇偶性與周期性 Word版含解析

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1、第第 3 講講函數的奇偶性與周期性函數的奇偶性與周期性最新考綱1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義；2.會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性；3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性.知 識 梳 理1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數 f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數 f(x)是偶函數關于 y 軸對稱奇函數如果對于函數 f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數 f(x)是奇函數關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數 yf(x)，如果存在一個非零常數 T，使得當 x 取定義域內的任

2、何值時，都有 f(xT)f(x)，那么就稱函數 yf(x)為周期函數，稱 T 為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數 f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 f(x)的最小正周期.診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內打“”或“”)(1)函數 yx2在 x(0，)時是偶函數.()(2)若函數 f(x)為奇函數，則一定有 f(0)0.()(3)若函數 yf(xa)是偶函數，則函數 yf(x)的圖象關于直線 xa 對稱.()(4)若函數 yf(xb)是奇函數， 則函數 yf(x)的圖象關于點(b， 0)中心對稱.()解析(1)由于偶函數的定義域關于原點對稱， 故

3、yx2在(0， )上不是偶函數，(1)錯.(2)由奇函數定義可知，若 f(x)為奇函數，其在 x0 處有意義時才滿足 f(0)0，(2)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx西安鐵中月考)下列函數為奇函數的是()A.y xB.yexC.ycos xD.yexex解析A，B 中顯然為非奇非偶函數；C 中 ycos x 為偶函數.D 中函數定義域為 R，又 f(x)exex(exex)f(x)，yexex為奇函數.答案D3.已知 f(x)ax2bx 是定義在a1，2a上的偶函數，那么 ab 的值是()A.13B.13C.12D.12解析依題意 b0，且 2a(a1)，a13，則 ab13

4、.答案B4. 設 f(x)是定 義在 R 上的周期為 2 的函數，當 x1，1)時，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，則 f32 _.解析f(x)的周期為 2，f32 f12 ，又當1x0 且 a1，函數 f(x)ax12，x0，g（x） ，x0為奇函數，則 a_，g(f(2)_.解析f(x)是 R 上的奇函數，f(0)0，即 a0120，a2；當 x0 時，x0，f(2)2221212320，g(f(2)g32 223212212222.答案2222考點一函數奇偶性的判斷【例 1】 判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x) 3x2 x23；(2)f(x)lg（1x2）|x2|2；(3)f(

5、x)x2x，x0.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函數 f(x)的定義域為 3， 3，從而 f(x) 3x2 x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函數 f(x)既是奇函數又是偶函數.(2)由1x20，|x2|2，得定義域為(1，0)(0，1)，關于原點對稱.x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x.又f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)，函數 f(x)為奇函數.(3)顯然函數 f(x)的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱.當 x0，則 f(x)(x)2xx2xf(x)；當 x0 時，x3 成立的 x的取值范圍為()A.(，1)B

6、.(1，0)C.(0，1)D.(1，)(2)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數，當 x0 時，f(x)x24x，則 f(x)_.解析(1)易知 f(x)2x12xa2x11a2x，由 f(x)f(x)，得2x11a2x2x12xa，即 1a2x2xa，化簡得 a(12x)12x，所以 a1，f(x)2x12x1，由 f(x)3，得 0 x1.(2)f(x)是定義在 R 上的奇函數，f(0)0.又當 x0，f(x)x24x.又 f(x)為奇函數，f(x)f(x)，則 f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0，0，x0，x24x，x0考點三函數的周期性及其應用【例 3】 (20 xx四

7、川卷)若函數 f(x)是定義在 R 上的周期為 2 的奇函數，當 0 x1時，f(x)4x，則 f52 f(2)_.解析f(x)是定義在 R 上的奇函數，f(0)0，又 f(x)在 R 上的周期為 2，f(2)f(0)0.又 f52 f12 f12 4122，f52 f(2)2.答案2規(guī)律方法(1)根據函數的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數值或解析式時，應根據周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉化到已知區(qū)間.(2)若 f(xa)f(x)(a 是常數，且 a0)，則 2a 為函數 f(x)的一個周期.【訓練 3】 已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數，且 f(x2)1f（x），當 2x3時，f(x)x

8、，則 f(105.5)_.解析f(x4)f(x2)21f（x2）f(x).故函數的周期為 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由題意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案2.5考點四函數性質的綜合運用【例 4】 (1)(20 xx山東卷)已知函數 f(x)的定義域為 R.當 x12時，fx12 fx12 .則 f(6)()A.2B.1C.0D.2(2)已知函數 f(x)是定義在 R 上的偶函數，且在區(qū)間0，)上單調遞增.若實數a 滿足 f(log2a)f(log12a)2f(1)，則 a 的取值范圍是()A.1，2B.0，12C.12，2

9、D.(0，2解析(1)當 x12時，由 f(x12)f(x12)，得 f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由題意知 f(1)f(1)，且 f(1)(1)312.因此 f(6)f(1)2.(2)由 yf(x)為偶函數，且 f(log2a)f(log12a)2f(1).f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又 f(log2a)f(|log2a|)且 f(x)在0，)上遞增，|log2a|11log2a1.解得12a2.答案(1)D(2)C規(guī)律方法(1)函數單調性與奇偶性的綜合.注意函數單調性及奇偶性的定義以及奇、偶函數圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性的綜合.此類

10、問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.【訓練 4】 (1)已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數，g(x)是定義在 R 上的奇函數，且g(x)f(x1)，則 f(2 017)f(2 019)的值為()A.1B.1C.0D.2(2)設函數 f(x)（x1）2sin xx21的最大值為 M，最小值為 m.則 Mm_.解析(1)由題意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定義在 R 上的偶函數， g(x)是定義在 R 上

11、的奇函數， g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即 f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)x22x1sin xx2112xsin xx21，令 g(x)2xsin xx21，則 g(x)g(x)，g(x)為奇函數，由奇函數圖象的對稱性知 g(x)maxg(x)min0，故 Mm2.答案(1)C(2)2思想方法1.判斷函數的奇偶性， 首先應該判斷函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.2.利用函數奇偶性可以解決以下問題：(1)求函數值；(2)求解析式；(3)求函數解

12、析式中參數的值；(4)畫函數圖象，確定函數單調性.3.在解決具體問題時，要注意結論“若 T 是函數的周期，則 kT(kZ 且 k0)也是函數的周期”的應用.易錯防范1.f(0)0 既不是 f(x)是奇函數的充分條件，也不是必要條件.2.函數 f(x)滿足的關系 f(ax)f(bx)表明的是函數圖象的對稱性， 函數 f(x)滿足的關系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.(20 xx肇慶三模)在函數 yxcos x，yexx2，ylg x22，yxsin x 中，偶函數的個數是()A.3B.2C.1D.0

13、解析yxcos x 為奇函數，yexx2為非奇非偶函數，ylgx22與 yxsin x為偶函數.答案B2.(20 xx湖南卷)設函數 f(x)ln(1x)ln(1x)，則 f(x)是()A.奇函數，且在(0，1)內是增函數B.奇函數，且在(0，1)內是減函數C.偶函數，且在(0，1)內是增函數D.偶函數，且在(0，1)內是減函數解析易知 f(x)的定義域為(1，1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，則 yf(x)為奇函數，又 yln(1x)與 yln(1x)在(0，1)上是增函數，所以 f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函數.答案A3.已知函數 f(x)xex1e

14、x，若 f(x1)x2B.x1x20C.x1x2D.x210 時，f(x)0，f(x)在0，)上為增函數，由 f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x21x22.答案D4.已知 f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則 g(1)等于()A.4B.3C.2D.1解析由已知得 f(1)f(1)，g(1)g(1)，則有f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，解得 g(1)3.答案B5.(20 xx杭州一模)奇函數 f(x)的定義域為 R，若 f(x1)為偶函數，且 f(1)2，則f(4)f(5)的值為()A.2B.1C.1D

15、.2解析f(x1)為偶函數，f(x1)f(x1)，則 f(x)f(x2)，又 yf(x)為奇函數，則 f(x)f(x)f(x2)，且 f(0)0.從而 f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期為 4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.答案A二、填空題6.若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函數，則 a_.解析由于 f(x)f(x)，ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化簡得 2ax3x0(xR)，則 2a30，a32.答案327.(20 xx湖州質檢)若函數 f(x)(xR)是周期為 4 的奇函數，且在0，2上的解析式為 f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，10，a

16、，x0，g（2x） ，x0為奇函數，則 a_，f(g(2)_.解析由題意，af(0)0.設 x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)f(4)(1681)25.答案025三、解答題9.設 f(x)是定義域為 R 的周期函數，最小正周期為 2，且 f(1x)f(1x)，當1x0 時，f(x)x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)試求出函數 f(x)在區(qū)間1，2上的表達式.解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又 f(x2)f(x)，f(x)f(x).又 f(x)的定義域為 R，f(x)是偶函數.(2)當 x0，1時，x1，0，則 f(x

17、)f(x)x；進而當 1x2 時，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1） ，x2，x1，2.10.已知函數 f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函數.(1)求實數 m 的值；(2)若函數 f(x)在區(qū)間1，a2上單調遞增，求實數 a 的取值范圍.解(1)設 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)為奇函數，所以 f(x)f(x).于是 x1，a21，所以 1a3，故實數 a 的取值范圍是(1，3.能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11.(20 xx麗水一模)已知 f(x)是定義在 R 上的以 3 為周期的偶函數，

18、 若 f(1)1， f(5)2a3a1，則實數 a 的取值范圍為()A.(1，4)B.(2，0)C.(1，0)D.(1，2)解析f(x)是定義在 R 上的周期為 3 的偶函數，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a11，即a4a10，解得1a4.答案A12.對任意的實數 x 都有 f(x2)f(x)2f(1)， 若 yf(x1)的圖象關于 x1 對稱，且 f(0)2，則 f(2 015)f(2 016)()A.0B.2C.3D.4解析yf(x1)的圖象關于 x1 對稱，則函數 yf(x)的圖象關于 x0 對稱，即函數 f(x)是偶函數，令 x1，則 f(1

19、2)f(1)2f(1)，f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0，則 f(x2)f(x)2f(1)0，即 f(x2)f(x)，則函數的周期是 2，又 f(0)2，則 f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)022.答案B13.(20 xx東北四市聯(lián)考)已知 f(x)是 R 上最小正周期為 2的周期函數， 且當 0 x2時，f(x)x3x，則函數 yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與 x 軸的交點個數為_.解析因為當 0 xff(x)對所有的 x2，2恒成立，求實數 m 的取值范圍.解(1)當 a1 時，f(x)(1x)|x|（1x）x，x0，（x1）x，x0，當 x0 時，f(x)(1x)xx12214，所以 f(x)在0，12 內是增函數，在12，內是減函數；當 xff(x)x3|x|，即 mx3|x|x21對所有的 x2，2恒成立，又 x2，2，所以 x211，5，所以x3|x|x21x4x21x411x21x211x212165.所以實數 m 的取值范圍是165，.