新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第6章學(xué)案28

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案28　等差數(shù)列及其前n項和 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題． 自主梳理 1．等差數(shù)列的有關(guān)定義 (1)一般地，如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的____等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為____________ (n∈N*，d為常數(shù))． (2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是____________，其中A叫做a，b的____________．

2、2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式：an＝____________，an＝am＋__________ (m，n∈N*)． (2)前n項和公式：Sn＝______________＝________________. 3．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式Sn＝____________. 4．等差數(shù)列的性質(zhì) (1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則有________________，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，________________. (2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等

3、差數(shù)列． (3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為________；若d<0，則數(shù)列為__________；若d＝0，則數(shù)列為____________． 自我檢測 1．(2010·北京海淀模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為________． 2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d＝________. 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________. 4．(2010·湖南師大附中)若等差數(shù)列{an}的前5項之和S5＝25，且a2＝3，則a7＝

4、________. 5．(2010·泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝________. 探究點一　等差數(shù)列的基本量運算 例1　等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通項an； (2)若Sn＝242，求n. 變式遷移1　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d (d≠0)，它的前10項和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項公式an. 探究點二　等差數(shù)列的判定 例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝ (n∈N*)．

5、 (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大值和最小值，并說明理由． 變式遷移2　已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值． (2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由． 探究點三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　若一個等差數(shù)列的前5項之和為34，最后5項之和為146，且所有項的和為360，求這個數(shù)列的項數(shù)． 變式遷移3　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列． (1)前四項和為21，末四項和為67，且前n項和為286，求

6、n； (2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (3)若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù)． 探究點四　等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 例4　已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n項和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值． 變式遷移4　在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項和為Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值． (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 1．等差

7、數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)中項公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項公式：an＝pn＋q (p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． 2．對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞著通項公式和前n項和公式，在兩個公式中共五個量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式． 3．要注意等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am

8、＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等． 4．在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知{an}為等差數(shù)列，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝______. 2．(2010·全國Ⅱ改編)如果等差數(shù)列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________. 3．(2010·濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項和Sn最小的n是________． 4．在等差數(shù)

9、列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為________． 5．等差數(shù)列{an}的前n項和滿足S20＝S40，下列結(jié)論中正確的序號是________． ①S30是Sn中的最大值； ②S30是Sn中的最小值； ③S30＝0； ④S60＝0. 6．(2010·遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 7．(2009·海南、寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________. 8．在數(shù)列{an}中，若點(n，an)在經(jīng)過點(5,3)的

10、定直線l上，則數(shù)列{an}的前9項和S9＝________. 二、解答題(共42分) 9．(12分)設(shè){an}是一個公差為d (d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項和S10＝110，且a＝a1a4. (1)證明：a1＝d； (2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項公式． 10．(14分)(2010·山東)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝ (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 11．(16分)(2010·廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3an

11、an－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項； (3)若λan＋≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍． 答案 自主梳理 1．(1)二　差　an＋1－an＝d　(2)A＝　等差中項 2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋d　　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　(3)遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　常數(shù)列 自我檢測 1．130 2．2 解析　∵S3＝＝6，a3＝4， ∴a1＝0，a3－a1＝2d.∴d＝2. 3．24 解析　∵S9＝72＝，

12、 ∴a1＋a9＝16.∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝8. ∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24. 4．13 解析　由S5＝?25＝?a4＝7，所以7＝3＋2d?d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13. 5．1 解析?。剑健ぃ健ぃ?. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項，利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方程組觀點求解． 解　(1)由an＝a1＋

13、(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程組　解得 所以an＝2n＋10. (2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242. 得12n＋×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)． 變式遷移1　解　由題意，知 即 ∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n. 例2　解題導(dǎo)引　1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，即an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)，第二種是利用等差中項，即2an＝an＋1＋an－1 (n≥2)． 2．解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷． (1)通項法：若數(shù)列{an}的通項公式為n的一次函數(shù)，即an＝An＋B，

14、則{an}是等差數(shù)列． (2)前n項和法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列． 3．若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可． 解　(1)∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝，∴當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－. ∴數(shù)列{bn}是以－為首項，以1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋ ＝1＋，設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋， 易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)． ∴當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1； 當(dāng)n＝4時，an取得最大值3. 變式遷移2　解　(1)

15、∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. (2)假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列． 設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3. ∴2×＝＋.∴＝＋， 解得λ＝－1.此時，b1＝2. 事實上，bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1. 綜上可知，存在實數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列{}為首項為2、公差為1的等差數(shù)列． 例3　解題導(dǎo)引　本題可運用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應(yīng)注

16、意運用；也可用整體思想(把a1＋d看作整體)． 解　方法一　設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項， 依題意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.② 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180， ∴a1＋an＝36. 由Sn＝＝＝360，得n＝20. 所以該等差數(shù)列有20項． 方法二　設(shè)此等差數(shù)列共有n項，首項為a1，公差為d， 則

17、S5＝5a1＋d＝34，① Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d]＝5a1＋(5n－15)d＝146.② ①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180， ∴a1＋d＝18， 代入Sn＝na1＋d＝n＝360， 得18n＝360，∴n＝20.所以該數(shù)列的項數(shù)為20項． 變式遷移3　解　(1)依題意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21， an－3＋an－2＋an－1＋an＝67， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88. ∴a1＋an＝＝22.∵Sn＝＝286，∴n＝26. (2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列， ∴S

18、3n＝3(S2n－Sn)＝54. (3)設(shè)項數(shù)為2n－1 (n∈N*)，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n－1項，中間項為an，則S奇＝＝n·an＝44， S偶＝＝(n－1)·an＝33，∴＝. ∴n＝4，an＝11. ∴數(shù)列的中間項為11，項數(shù)為7. 例4　解題導(dǎo)引　若{an}是等差數(shù)列，求前n項和的最值時， (1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項和Sn最大； (2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項和Sn最小； (3)除上面方法外，還可將{an}的前n項和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意n∈N*. 解　方法一　∵2an＋1＝an＋

19、an＋2，∴{an}是等差數(shù)列． 設(shè){an}的首項為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72， 得，∴. ∴an＝4n－2.則bn＝an－30＝2n－31. 解得≤n≤. ∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項為負(fù)值. ∴S15最?。? 可知b1＝－29，d＝2， ∴S15＝＝－225. 方法二　同方法一求出bn＝2n－31. ∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225， ∴當(dāng)n＝15時，Sn有最小值，且最小值為－225. 變式遷移4　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， ∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36， ∴a17＝－12，∴d＝＝3

20、， ∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63，an＋1＝3n－60， 令，得20≤n≤21， ∴S20＝S21＝－630，∴n＝20或21時，Sn最小且最小值為－630. (2)由(1)知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數(shù)．當(dāng)n≤21時，Tn＝－Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n>21時，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260. 綜上，Tn＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．15 解析　在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝a3＋a8＝22，∴a5＝15. 2．28 解析　∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(

21、a3＋a5)＋a4＝7a4＝28. 3．5 解析　由S3＝S7得a4＋a5＋a6＋a7＝0， 即a5＋a6＝0，∴9d＝－2a1＝18，d＝2. ∴Sn＝－9n＋n(n－1)×2＝n2－10n. ∴當(dāng)n＝－＝5時，Sn最小． 4．16 解析　a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120.∴5a8＝120.∴a8＝24. ∴a9－a11＝a1＋8d－(a1＋10d) ＝(a1＋7d)＝a8＝16. 5．④ 解析　方法一　由S20＝S40，得a1＝－d， ∴S60＝60a1＋d＝60×＋d＝0. 方法二　由S20＝S40，得a21＋a22＋…＋a40＝0， ∴a30＋a31

22、＝0.∴S60＝＝30(a30＋a31)＝0. 6．15 解析　設(shè)等差數(shù)列公差為d，則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，① S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24， 即2a1＋5d＝8.② 聯(lián)立①②兩式得a1＝－1，d＝2， 故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 7．10 解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知am－1＋am＋1＝2am， ∴2am－a＝0， ∴am＝0或am＝2.又S2m－1＝(2m－1)am≠0， ∴am＝2，由2(2m－1)＝38，得m＝10. 8．27 解析　∵點(n，an)在定直線l上， ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．∴an＝a1＋(

23、n－1)·d. 將(5,3)代入，得3＝a1＋4d＝a5. ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27. 9．(1)證明　∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d (d≠0)．化簡得a1＝d.…………………………(6分) (2)解　由條件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110.由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110， 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，n∈N*.…………………………………

24、………(12分) 10．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分) 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(7分) (2)因為an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)， 因此bn＝＝.………………………………………………………(9分) 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝.……

25、……………………………………………(14分) 11．(1)證明　將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)． 所以數(shù)列{}為以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．…………………………………(4分) (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝.……………………………………………………………………………(8分) (3)解　若λan＋≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立， 即＋3n＋1≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立． 整理得λ≤………………………………………………………………(10分) 令cn＝ cn＋1－cn＝－ ＝.………………………………………………………………………(14分) 因為n≥2，所以cn＋1－cn>0， 即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2＝. 所以λ的取值范圍為(－∞，]．………………………………………………………(16分)