新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第五章 第4講 平面向量的綜合應(yīng)用

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第4講平面向量的綜合應(yīng)用一、填空題1在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，則a·bb·cc·a_.解析由|a|1，|b|2，|c|，可得|2|2|2，B90°，C60°，A30°，所以a·bb·cc·a2cos 120°2cos 150°04.答案42在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若··1，那么c_.解析由題知··2，即···()22c|.答案3已知ABO三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足·0，·0，則·的最小值為_(kāi)解析由已知得·(x1，y)·(1,0)x10，且·(x，y2)·(0,2)2(y2)0，即x1，且y2，所以·(x，y)·(1,2)x2y143.答案34已知平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，若(2)·()0，則ABC的形狀為_(kāi)解析由(2)·()0，得()()·()0，所以()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形答案等腰三角形5. 如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3， BC，則·_.解析··()··，因?yàn)镺AOB，所以在上的投影為|，所以·|·|2，同理·|·|，故·2.答案6在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且··，則a2，b2，c2成_數(shù)列解析由··，得()·()()·()，即2222，所以a2b2b2c2，所以a2，b2，c2成等差數(shù)列答案等差7已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則·()_.解析如圖，因?yàn)?，ABC為正三角形，所以四邊形ABDC為菱形，BCAO，所以在向量上的投影為.又|，所以·()|·|6.答案68已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R，若·，則_.解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1)，得Q(1，(1)，所以·(1，(1)·(21，)(1)(21)×(1)，解得.答案9設(shè)，(0,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足0·1,0·1，則zyx的最小值是_解析由題得所以可行域如圖所示，所以當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí)，zmin1.答案110對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義.若平面向量a，b滿足|a|b|>0，a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，則ab_.解析根據(jù)題中給定的兩個(gè)向量的新運(yùn)算可知ab，ba，又由可得<cos <1，由|a|b|>0可得0<1，于是0<<1，即ba(0,1)，又由于ba，所以，即|a|2|b|cos .同理>，將代入后得2cos2>，又由于ab，所以ab2cos2(nZ)，于是1<<2，故n3，cos ，|a|b|，ab×.答案二、解答題11已知在銳角ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，定義向量m(sin B，)，n，且mn.(1)求函數(shù)f(x)sin 2xcos Bcos 2xsin B的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若b1，求ABC的面積的最大值解(1)因?yàn)閙n，所以sin Bcos 2B2sin B cos Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sin0，所以B.所以f(x)sin(2xB)sin.于是由2k2x2k(kZ)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.(2)當(dāng)b1時(shí)，由余弦定理，得1a2c22accos a2c2acac，所以SABCacsin，當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)等號(hào)成立，所以(SABC)max.12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(2ac)··c·0.(1)求角B的大小；(2)若b2，試求·的最小值解(1)因?yàn)?2ac)·c·0，所以(2ac)accos Babccos C0，即(2ac)cos Bbcos C0，所以(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C0，即2sin Acos Bsin(BC)0，因?yàn)閟in(BC)sin A0，所以cos B，所以B.(2)因?yàn)閎2a2c22accos，所以12a2c2ac3ac，即ac4，所以·accosac2，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)等號(hào)成立，所以·的最小值為2.13已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式兩邊分別平方，得12sin cos ，2sin cos .14已知M(0，2)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足，·0.(1)當(dāng)A點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)(2,0)的直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作軌跡C的切線l1、l2，當(dāng)l1l2時(shí)，求直線l的方程解(1)設(shè)P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，則(xxA，y)，(x，yBy)由得xA2x，yB2y.又(xA,2)，(xxA，y)，即(2x,2)，(x，y)由·0得x2y(y>0)(2)易知直線l的斜率必存在，故設(shè)其直線方程為yk(x2)，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，因?yàn)閥2x，故兩切線的斜率分別為2x1、2x2.由方程組得x2kx2k0，x1x2k，x1x22k.由l1l2時(shí)，4x1x21，k.直線l的方程是y(x2).