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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第五章 第4講 平面向量的綜合應(yīng)用

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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第五章 第4講 平面向量的綜合應(yīng)用

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第4講平面向量的綜合應(yīng)用一、填空題1在ABC中,a,b,c,且|a|1,|b|2,|c|,則a·bb·cc·a_.解析由|a|1,|b|2,|c|,可得|2|2|2,B90°,C60°,A30°,所以a·bb·cc·a2cos 120°2cos 150°04.答案42在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若··1,那么c_.解析由題知··2,即···()22c|.答案3已知ABO三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足·0,·0,則·的最小值為_(kāi)解析由已知得·(x1,y)·(1,0)x10,且·(x,y2)·(0,2)2(y2)0,即x1,且y2,所以·(x,y)·(1,2)x2y143.答案34已知平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D,若(2)·()0,則ABC的形狀為_(kāi)解析由(2)·()0,得()()·()0,所以()·()0.所以|2|20,|,故ABC是等腰三角形答案等腰三角形5. 如圖,ABC的外接圓的圓心為O,AB2,AC3, BC,則·_.解析··()··,因?yàn)镺AOB,所以在上的投影為|,所以·|·|2,同理·|·|,故·2.答案6在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且··,則a2,b2,c2成_數(shù)列解析由··,得()·()()·(),即2222,所以a2b2b2c2,所以a2,b2,c2成等差數(shù)列答案等差7已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則·()_.解析如圖,因?yàn)?,ABC為正三角形,所以四邊形ABDC為菱形,BCAO,所以在向量上的投影為.又|,所以·()|·|6.答案68已知ABC為等邊三角形,AB2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足,(1),R,若·,則_.解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C(1,),由,得P(2,0),由(1),得Q(1,(1),所以·(1,(1)·(21,)(1)(21)×(1),解得.答案9設(shè),(0,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足0·1,0·1,則zyx的最小值是_解析由題得所以可行域如圖所示,所以當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí),zmin1.答案110對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和,定義.若平面向量a,b滿足|a|b|>0,a與b的夾角,且ab和ba都在集合中,則ab_.解析根據(jù)題中給定的兩個(gè)向量的新運(yùn)算可知ab,ba,又由可得<cos <1,由|a|b|>0可得0<1,于是0<<1,即ba(0,1),又由于ba,所以,即|a|2|b|cos .同理>,將代入后得2cos2>,又由于ab,所以ab2cos2(nZ),于是1<<2,故n3,cos ,|a|b|,ab×.答案二、解答題11已知在銳角ABC中的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,定義向量m(sin B,),n,且mn.(1)求函數(shù)f(x)sin 2xcos Bcos 2xsin B的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若b1,求ABC的面積的最大值解(1)因?yàn)閙n,所以sin Bcos 2B2sin B cos Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sin0,所以B.所以f(x)sin(2xB)sin.于是由2k2x2k(kZ),得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,kZ.(2)當(dāng)b1時(shí),由余弦定理,得1a2c22accos a2c2acac,所以SABCacsin,當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)等號(hào)成立,所以(SABC)max.12在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(2ac)··c·0.(1)求角B的大小;(2)若b2,試求·的最小值解(1)因?yàn)?2ac)·c·0,所以(2ac)accos Babccos C0,即(2ac)cos Bbcos C0,所以(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C0,即2sin Acos Bsin(BC)0,因?yàn)閟in(BC)sin A0,所以cos B,所以B.(2)因?yàn)閎2a2c22accos,所以12a2c2ac3ac,即ac4,所以·accosac2,當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)等號(hào)成立,所以·的最小值為2.13已知A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ),.(1)若|,求角的值;(2)若·1,求的值解(1)(cos 3,sin ),(cos ,sin 3),2(cos 3)2sin2106cos ,2cos2(sin 3)2106sin ,由|,可得22,即106cos 106sin ,得sin cos .又,.(2)由·1,得(cos 3)cos sin (sin 3)1,sin cos .又2sin cos .由式兩邊分別平方,得12sin cos ,2sin cos .14已知M(0,2),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)P在直線AB上,且滿足,·0.(1)當(dāng)A點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過(guò)(2,0)的直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn),又過(guò)E、F作軌跡C的切線l1、l2,當(dāng)l1l2時(shí),求直線l的方程解(1)設(shè)P(x,y),A(xA,0),B(0,yB),則(xxA,y),(x,yBy)由得xA2x,yB2y.又(xA,2),(xxA,y),即(2x,2),(x,y)由·0得x2y(y>0)(2)易知直線l的斜率必存在,故設(shè)其直線方程為yk(x2),設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),因?yàn)閥2x,故兩切線的斜率分別為2x1、2x2.由方程組得x2kx2k0,x1x2k,x1x22k.由l1l2時(shí),4x1x21,k.直線l的方程是y(x2).

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