新版理數北師大版練習：第十章 第六節(jié)　幾何概型 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．在區(qū)間[0,1]上隨機取一個數x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：因為log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即

3、燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒．如果小明每天到路口的時間是隨機的，則小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：設“小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，則P(A)＝＝，選D. 答案：D 3．在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內任取一點P，則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33

4、＝27，故所求的概率P＝＝. 答案：A 4．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故選D. 答案：D 5．(20xx·武漢市調研)在長為16 cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設MP＝x，則NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60?x2－16x＋60<0，(x－

5、6)(x－10)<0?6

6、所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案：B 8.如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：因為f(x)＝B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝. 答案：B 9．(20xx·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內一點，＋＋2＝0，現將一粒豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是(　　)

7、A. B. C. D. 解析：如圖所示，設點M是BC邊的中點，因為＋＋2＝0，所以點P是中線AM的中點，所以黃豆落在△PBC內的概率P＝＝，故選C. 答案：C 10．設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 解析：復數|z|≤1對應的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內部，圖中陰影部分表示在圓內(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D. 答案：D 11．(20xx·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域為M，不等

8、式組表示的平面區(qū)域為N，現隨機向區(qū)域N內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內的概率為 ． 解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內的面積為π()2＝，故所求概率P＝＝. 答案： 12．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝ . 解析：由幾何概型知＝，解得m＝3. 答案：3 13．利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為 ． 解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>

9、0”發(fā)生時，a>且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝. 答案： 14．若在區(qū)間[－4,4]內隨機取一個數m，在區(qū)間[－2,3]內隨機取一個數n，則使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數根的概率為 ． 解析：∵方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}

10、，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－. 答案：1－ B組——能力提升練 1．已知A＝{(x，y)|x2＋y2≤π2}，B是曲線y＝sin x與x軸圍成的封閉區(qū)域．若向區(qū)域A內隨機投入一點M，則點M落入區(qū)域B的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：區(qū)域A表示圓及其內部，面積為π3，正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積S＝2 sin xdx＝－2 cos x＝4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機向區(qū)域A內投一個點M，則點M落在區(qū)域B內的概率P＝，故選D. 答案：D

11、2．在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數分別記為a，b，則使得函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結果構成的區(qū)域為正方形ABCD及其內部．要使函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 答案：B 3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) A.－　　　　　　 B. C．1－ D.

12、 解析：設OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－. 答案：C 4．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1

13、>，則p1<

14、＝1相離，則圓C的圓心到直線l的距離d＝＞1，又k∈[－1,1]，所以－1≤k<－或＜k≤1，所以事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為＝，故選C. 答案：C 7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動點P(a，b)滿足0≤·≤2， 且0≤·≤2，則動點P到點C的距離大于的概率為(　　) A．1－ B. C．1－ D. 解析：依題意有目標函數>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A. 答案：A 8．已知x，y都是區(qū)間[0，]內任取的一個實數，則使得y≤sin x的取值的概率是 (　　) A.

15、 B. C. D. 解析：事件的度量為函數y＝sin x的圖像在[0，]內與x軸圍成的圖形的面積，即 則事件發(fā)生的概率為P＝＝，故選A. 答案：A 9．運行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[0，e]內任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數e的概率是(　　) A. B．1－ C．1＋ D. 解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當1e，故輸出的f(x)值不小于常數e的概率是＝1－，故選B. 答案：B 10．在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個數，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為(　　) A.

16、 B. C. D. 解析：∵＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b. 它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示： 則方程＋＝1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為 P＝＝1－＝，故選B. 答案：B 11.在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分 (曲線C的方程為x2－y＝0)的點的個數的估計值為(　　) A．5 000 B．6 667 C．7 500 D．7 854 解析：S陰影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6 667，故選B. 答案：B 12．已知O，A，B三地在同一水平面內，A地在O地正東方向

17、2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數據的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 解析：在等腰直角三角形OAB中，以O為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊員能夠得到準確數據的概率是1－＝1－，故選D. 答案：D 13．一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的地方的概率為 ．

18、 解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝. 答案： 14．(20xx·南昌質檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，用隨機模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機產生了10 000個點，落在不規(guī)則圖形M內的點數恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為 ． 解析：由題意，因為在正方形ABCD中隨機產生了10 000個點，落在不規(guī)則圖形M內的點數恰有2 000個， 所以概率P＝＝. ∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4， ∴不規(guī)則

19、圖形M的面積的估計值為 ×4＝. 答案： 15．(20xx·武漢市模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機取兩個實數x，y，則滿足y≥x2－1的概率為 ． 解析：由題意可得，在區(qū)間[－1,1]上隨機取兩個實數x，y，對應的區(qū)域是邊長為2的正方形，如圖，面積為4，滿足y≥x2－1的區(qū)域為圖中陰影部分，面積為＝ ∴滿足y≥x2－1的概率P＝＝. 答案： 16．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為 ． 解析：對于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由題意可得·||·||<，因為m∈(0,3)，所以解得0