新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第3節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、第三節(jié)第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考綱傳真1.能畫出 ysin x，ycos x，ytan x 的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與 x 軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間2，2 內(nèi)的單調(diào)性1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù) ysin x，x0,2圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)余弦函數(shù) ycos x，x0,2圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖像

2、定義域RRx|xk2，kZ值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：2k2，2k2kZ，遞減區(qū)間：2k2，2k32遞增區(qū)間： 2k，2k kZ，遞減區(qū)間： 2k， 2k kZ遞增區(qū)間k2，k2 (kZ)kZ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(k，0)kZ對(duì)稱中心k2，0kZ對(duì)稱中心k2，0kZ對(duì)稱軸 xk2(kZ)對(duì)稱軸 xk(kZ)周期性221(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)常數(shù)函數(shù) f(x)a 是周期函數(shù)，它沒有最小正周期()(2)函數(shù) ysin x 的圖像關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kZ)中心對(duì)稱()(3)正切函數(shù) ytan x 在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(4)ysin

3、|x|是偶函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)2(20 xx云南二次統(tǒng)一檢測(cè))函數(shù) f(x)cos2x52 的圖像關(guān)于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962146】A原點(diǎn)對(duì)稱By 軸對(duì)稱C直線 x52對(duì)稱D直線 x52對(duì)稱A函數(shù) f(x)cos2x52 sin 2x 是奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選 A.3函數(shù) ytan 2x 的定義域是()A. x|xk4，kZB x|xk28，kZC. x|xk8，kZD x|xk24，kZD由 2xk2，kZ，得 xk24，kZ，ytan 2x 的定義域?yàn)?x|xk24，kZ.4 (20 xx長(zhǎng)沙模擬(一)函數(shù) ysin12x3 ， x2， 2的遞增區(qū)間是()【導(dǎo)學(xué)

4、號(hào)：57962147】A.2，53B2，53 和3，2C.53，3D3，2C令 z12x3，函數(shù) ysin z 的遞增區(qū)間為2k2，2k2 (kZ)，由2k212x32k2得 4k53x4k3，而 x2，2，故其遞增區(qū)間是53，3 ，故選 C.5(教材改編)函數(shù) f(x)42cos13x 的最小值是_，取得最小值時(shí)，x的取值集合為_2x|x6k，kZf(x)min422，此時(shí)，13x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以 x 的取值集合為x|x6k，kZ三角函數(shù)的定義域與值域(1)(20 xx全國(guó)卷)函數(shù) f(x)cos 2x6cos2x的最大值為()A4B5C6D7(2)函數(shù) ylg(sin 2

5、x) 9x2的定義域?yàn)開(1)B(2)3，2 0，2(1)f(x)cos 2x6cos2xcos 2x6sinx12sin2x6sin x2sin x322112，又 sin x1,1，當(dāng) sin x1 時(shí)，f(x)取得最大值 5.故選 B.(2)由sin 2x0，9x20，得kxk2，kZ，3x3，3x2或 0 x2，函數(shù) ylg(sin 2x) 9x2的定義域?yàn)?，2 0，2 .規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解2求三角函數(shù)最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解

6、(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為 yAsin(x)k 的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(3)換元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin xcos x 換成 t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解變式訓(xùn)練 1(1)已知函數(shù) y2cos x 的定義域?yàn)?，值域?yàn)閍，b，則ba 的值是()A2B3C. 32D2 3(2)求函數(shù) ycos2xsin x|x|4 的最大值與最小值(1)Bx3，cos x1，12 ，故 y2cos x 的值域?yàn)?,1，ba3.(2)令 tsin x，|x|4，t22，22 ，3 分yt2t1t12254，當(dāng) t12時(shí)，ymax54，當(dāng) t22時(shí)，ymin1

7、 22，7 分函數(shù) ycos2xsin x|x|4 的最大值為54，最小值為1 22.12 分三角函數(shù)的單調(diào)性(1)(20 xx洛陽(yáng)模擬)已知0，函數(shù) f(x)sinx4 在2，上遞減，則的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962148】A.12，54B12，34C.0，12D(0,2(2)函數(shù) f(x)sin2x3 的單調(diào)減區(qū)間為_(1)A(2)k12，k512 (kZ)(1)由2x得24x44，由題意知24，42，32 ，所以242，432，解得1254.(2)由已知函數(shù)為 ysin2x3 ，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求 ysin2x3 的單調(diào)增區(qū)間即可由 2k22x32k2，kZ，得 k12x

8、k512，kZ.故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k12，k512 (kZ)規(guī)律方法1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”(2)求形如 yAsin(x)(0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)， 要視“x”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解若0，應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化 x 的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調(diào)性弄錯(cuò)2已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解變式訓(xùn)練 2(1)函數(shù) f(x)tan2x3 的遞增區(qū)間是_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962149】(2)若函數(shù) f(x)sin x(0)在區(qū)間0，3 上遞增，在區(qū)間3，2 上遞減，則_.

9、(1)k212，k2512 (kZ)(2)32(1)由2k2x32k(kZ)，得k212xk2512(kZ)(2)f(x)sin x(0)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng) 0 x2，即 0 x2時(shí)，ysin x 是增函數(shù)；當(dāng)2x32，即2x32時(shí)，ysin x 是減函數(shù)由 f(x)sin x(0)在0，3 上遞增，在3，2 上遞減知，23，32.三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性角度 1奇偶性與周期性的判斷(1)(20 xx全國(guó)卷)在函數(shù)：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4 中，最小正周期為的所有函數(shù)為()ABCD(2)函數(shù) y12sin2x34 是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周

10、期為的偶函數(shù)C最小正周期為2的奇函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)(1)C(2)A(1)ycos|2x|cos 2x，T.由圖像知，函數(shù)的周期 T.T.T2.綜上可知，最小正周期為的所有函數(shù)為.(2)y12sin2x34 cos 2x34 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)角度 2求三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心(20 xx 安 徽 江 南 十 校 3 月 聯(lián) 考 ) 已 知 函 數(shù) f(x) sin(x )0，|2 的最小正周期為 4，且對(duì)任意 xR，都有 f(x)f3 成立，則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962150】A.23，0B3，0C.23，0D53，0

11、A由 f(x)sin (x)的最小正周期為 4， 得12.因?yàn)?f(x)f3 恒成立，所以 f(x)maxf3 ，即12322k(kZ)，32k(kZ)，由|2，得3，故 f(x)sin12x3 .令12x3k(kZ)，得 x2k23(kZ)，故 f(x)圖像的對(duì)稱中心為2k23，0(kZ)，當(dāng) k0 時(shí)，f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為23，0，故選 A.角度 3三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用(1)如果函數(shù) y3cos(2x)的圖像關(guān)于點(diǎn)43，0中心對(duì)稱，那么|的最小值為()A.6B.4C.3D.2(2)已知函數(shù) f(x)sin xacos x 的圖像關(guān)于直線 x53對(duì)稱，則實(shí)數(shù) a 的值為()【導(dǎo)

12、學(xué)號(hào)：57962151】A 3B33C. 2D.22(1)A(2)B(1)由題意得 3cos2433cos2323cos230，23k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值為6.(2)由 x53是 f(x)圖像的對(duì)稱軸，可得 f(0)f103，即 sin 0acos 0sin103acos103，解得 a33.規(guī)律方法1.對(duì)于函數(shù) yAsin(x)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線 xx0或點(diǎn)(x0,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn) f(x0)的值進(jìn)行判斷2求三角函數(shù)周期的方法：(1)利用周期函數(shù)的定義(2)利用公式：yAsin

13、(x)和 yAcos(x)的最小正周期為2|，ytan(x)的最小正周期為|.(3)借助函數(shù)的圖像思想與方法1討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成 yAsin(x)(0)的形式，再用換元法令 tx，將其轉(zhuǎn)化為研究 ysin t 的性質(zhì)2求三角函數(shù)值域(最值)的常用方法：(1)將函數(shù)變形化為 yAsin(x)k 的形式，逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)(2)換元法： 把 sin x 或 cos x 看作一個(gè)整體， 可化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題3若 f(x)Asin(x)(A0，0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是2k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)易錯(cuò)與防范1閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響2求 yAsin(x)(A0)的單調(diào)區(qū)間，要注意的正負(fù)，只有當(dāng)0 時(shí)，才能將“x”整體代入相應(yīng)單調(diào)區(qū)間3利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)，注意 cos x(或 sin x)的有界性4正、余弦函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形且最值點(diǎn)在對(duì)稱軸上；正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱圖形