新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形應(yīng)用舉例

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第7講 解三角形應(yīng)用舉例 一、選擇題 1．在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50°，且到A的距離為2，C點的俯角為70°，且到A的距離為3，則B、C間的距離為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3. ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC＝. 答案 D 2．如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定下列四

2、組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．α，a，b B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b 解析　選項B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB.選項D同B類似，故選A. 答案　A 3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是

3、 (　　)． A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 答案　A 4. 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<

4、∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 答案　B 5．如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析 由題意，得B＝30°.由正弦定理，得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． 答案 A 6. 如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一

5、朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (　　)． A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30°＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝(m)，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空題 7．如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是_______

6、_米． 解析　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)． 答案　10 8．如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，進行10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x＝________. 解析　由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝. ∴x＝ m. 答案　 m 9.

7、 在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為________米． 解析　由題可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗桿的高度為30米． 答案　30 10. 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n海

8、里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件________時，該船沒有觸礁危險． 解析　由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90°－β)＝＞n，所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，該船沒有觸礁危險． 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β) 三、解答題 11．如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ的方向作勻速直線航行，速度為m n mile/h

9、. (1)若兩船能相遇，求m. (2)當(dāng)m＝10時，求兩船出發(fā)后多長時間距離最近，最近距離為多少n mile? 解 (1)設(shè)t小時后，兩船在M處相遇， 由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝， 所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝. 由正弦定理，＝，∴AM＝40， 同理得BM＝40. ∴t＝＝，m＝＝15. (2)以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t 時刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|＝15t，|BQ|＝10t. 由任意角三角函數(shù)的定義，可得 即點P的坐標(biāo)是(15t,15t)， 即

10、點Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)， ∴|PQ|＝＝ ＝≥20， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時，|PQ|取得最小值20，即兩船出發(fā)4小時時，距離最近，最近距離為20 n mile. 12．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值． 解　如題圖所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)

11、． 由正弦定理得＝， 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 易知θ＝∠ACB＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30° ＝. 13．如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百

12、米． (1)求△CDE的面積； (2)求A，B之間的距離． 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)． (2)連接AB，依題意知，在Rt△ACD中， AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝(百米)， 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理＝，得 BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝(百米)． ∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°si

13、n 45° ＝×＋×＝， 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－， ∴AB＝百米． 14．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大

14、小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇． 解　(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝＝ . 故當(dāng)t＝時，Smin＝10(海里)， 此時v＝＝30(海里/時)． 即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小． (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30， ∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥. 又t＝時，v＝30海里/時． 故v＝30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于. 此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計航行方案如下： 航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.