新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題：31 平面向量與三角形的應(yīng)用舉例

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1、 平面向量與三角形的應(yīng)用舉例 一、平面向量與三角形的心 1、重心（中線交點(diǎn)） （1）是的重心 （2）是的重心（是平面上的點(diǎn)） 證明： ∵是的重心 ∴，即 由此可得。 例如：已知向量，滿足條件，， 求證：是正三角形。 分析：對(duì)于本題中的條件，容易想到，點(diǎn)是的外心，而另一個(gè)條件表明，點(diǎn)是的重心。 故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形。又如，若 一個(gè)三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的。 顯然，本題中的條件可改為。 2、垂心（高線交點(diǎn)） （1）是的垂心 由， 同

2、理，。故是的垂心。反之亦然。 （2）是（非直角三角形）的垂心，則有 且。 3、外心（邊垂直平分線交點(diǎn)，外接圓圓心） （1）是的外心（點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等） （2）是的外心（為三邊垂直平分線交點(diǎn)） （3）是的外心，則有 且。 4、內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心） （1）是的內(nèi)心 （2）是的內(nèi)心 （3）引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。記，，的單位向量為，則是的內(nèi)心 （4）是的內(nèi)心，則 故或 （5）是的內(nèi)心 （6）向量所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線） （7）設(shè)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，為內(nèi)心 例如：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足 則的軌

3、跡一定通過的（ ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 分析：已知等式即，設(shè)，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故為的平分線，選。 5、外心與重心：若是的外心，是重心，則 6、外心與垂心：若是的外心，是垂心，則 7、重心與垂心：若是的重心，是垂心，則 8、外心、重心、垂心：若分別是銳角的外心、重心、垂心，則 證明：按重心定理：是的重心； 按垂心定理：，由此可得：。 9、三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系： （1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線，即歐拉線； （2）三角形的重心在歐拉線上，且為外心、垂心連線的第

4、一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。 例如：在中，已知分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：三點(diǎn)共線，且 。 證明：以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系。 設(shè)、、，分別為的中點(diǎn)， 則有：， 由題設(shè)可設(shè)， ， 即，故三點(diǎn)共線，且。 二、應(yīng)用舉例 1、已知在所在平面內(nèi)，且，且 ，則點(diǎn)依次是的（ C ） A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心 2、是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是的（ D ） A、三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B、三條邊的垂直平分線

5、的交點(diǎn) C、三條中線的交點(diǎn) D、三條高的交點(diǎn) 解：由，得 ∴ ∴是的垂心，即三條高的交點(diǎn)。 3、在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：， 則為的（ D ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 4、已知，為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，則點(diǎn) 為的（ D ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 5、已知是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則是的（ C ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 解：若是的重心，則有（是的中點(diǎn)） ， ∴。∴與重合，即是的重心。 6、已知的頂點(diǎn)及平面內(nèi)一

6、點(diǎn)滿足：，則為的（ C ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 7、已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足： ，則的軌跡一定通過的（ C ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 8、已知，為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：，則點(diǎn)為的（ B ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 9、在中，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則點(diǎn)一定通過的（ B ） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 10、已知是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足 ，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ B

7、） A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心 11、已知是平面上不共線的三點(diǎn)，是的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)一定為的（ B ） A、邊中線的中點(diǎn) B、邊中線的三等分點(diǎn)（非重心） C、重心 D、邊的中點(diǎn) 分析：取邊的中點(diǎn)，則，由， 得3，，即點(diǎn)為三角形中邊中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且不過重心。 12、非零向量與滿足且，則為（ D ） A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形 13、的外接圓的圓心為，兩邊上的高的交點(diǎn)為，，則實(shí)數(shù) 。 解：當(dāng)為時(shí)，不妨設(shè)

8、，則是的中點(diǎn)，是直角頂點(diǎn)， ∴，∴，∴。 14、若是的外心，是三邊中點(diǎn)構(gòu)成的的外心，且 ，則 。 （其實(shí)是的中點(diǎn)，∴；也可用特例時(shí)得） 15、在四邊形中，=，，則四邊形 的面積是 。 解析：由題知四邊形是菱形，其邊長(zhǎng)為，且對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍，所以 ，故，。 16、如圖，已知點(diǎn)是的重心，過作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)，且，，求證：。 證明：點(diǎn)是的重心，得，有。 又三點(diǎn)共線（不在直線上），于是存在，使得， 有，得，于是得。 17、已知為的外心，求證：。 分析：構(gòu)造坐標(biāo)系證明。 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方。，直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且， 因此有，得。 直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得。 于是，容易驗(yàn)證，，又， ，，又， 則所證成立。