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新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差學(xué)案 理

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新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差學(xué)案 理

第六十六課時(shí) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.理解隨機(jī)變量的均值、方差的意義、作用,能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2.理解二項(xiàng)分布、超幾何分步的數(shù)學(xué)期望與方差.基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1,x2,xn,這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1,p2,pn.(1)數(shù)學(xué)期望:稱E(X) 為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望),它刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的 (2)方差:稱D(X) 叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差,即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的 (或說離散程度),D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2 二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差期望方差變量X服從二點(diǎn)分布XB(n,p)X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布 預(yù)習(xí)自測(cè)1 若隨機(jī)變量的分布列如下表,則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx2某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì),分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的,記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)若P(X0),則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.3 某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下:78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9,則y的值為()A0.4 B0.6 C0.7 D0.94 已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3,則E(Y)的值為()A. B4 C1 D15 設(shè)隨機(jī)變量XB(n,p),且E(X)1.6,D(X)1.28,則()An8,p0.2 Bn4,p0.4Cn5,p0.32 Dn7,p0.45課堂探究案典型例題考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值、方差【典例1】(20xx年高考湖北卷)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;(2)在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率【變式1】某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課,每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課對(duì)于該年級(jí)的甲、乙、丙3名學(xué)生,回答下面的問題:(1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率;(2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)2二項(xiàng)分布的均值、方差【典例2】某人投彈命中目標(biāo)的概率p0.8.(1)求投彈一次,命中次數(shù)X的均值和方差;(2)求重復(fù)10次投彈時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差【變式2】為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)為成活沙柳的株數(shù),數(shù)學(xué)期望E()3,標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n,p的值并寫出的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率考點(diǎn)3 均值與方差的應(yīng)用【典例3】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資10萬元,一年后利潤(rùn)是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1),設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X,對(duì)乙項(xiàng)目每投資10萬元,X取0、1、2時(shí),一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量X1、X2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資10萬元一年后的利潤(rùn)(1)求X1,X2的概率分布列和均值E(X1),E(X2);(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí),求p的取值范圍【變式3】A,B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2,根據(jù)市場(chǎng)分析,X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn),求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0x100)萬元投資A項(xiàng)目,100x萬元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和求f(x)的最小值,并指出x為何值時(shí),f(x)取到最小值當(dāng)堂檢測(cè)1 已知某一隨機(jī)變量X的概率分布列如下,且E(X)6.3,則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D82已知X的分布列為X101P且YaX3,E(Y),則a的值為()A1 B2 C3 D43 一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率都為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.44 體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每位學(xué)生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次為止設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍是()A. B. C. D.5 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是_6 有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件數(shù),則D(X)_.7馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表:x123P(x)?!?請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“!”處完全無法看清,且兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同據(jù)此,小牛給出了正確答案E()_.課后拓展案 A組全員必做題1 若X是離散型隨機(jī)變量,P(Xx1),P(Xx2),且x1<x2,又已知E(X),D(X),則x1x2的值為 ()A. B. C3 D.2 已知拋物線yax2bxc (a0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c3,2,1,0,1,2,3,在這些拋物線中,記隨機(jī)變量|ab|的取值,則的數(shù)學(xué)期望E()為()A. B. C. D.3 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a、b、c(0,1),已知他投籃一次得分的均值為2,則的最小值為()A. B. C. D.4 罐中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取1球,記住顏色后再放回,連續(xù)摸取4次,設(shè)為取得紅球的次數(shù),則的期望E()_.5 簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè),則X的數(shù)學(xué)期望為_6為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠安全進(jìn)行,警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察,從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè),如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過即可入選假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選,且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為,.這三項(xiàng)測(cè)試能否通過相互之間沒有影響(1)求A能夠入選的概率;(2)規(guī)定:按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人,則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)),求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望B組提高選做題1 設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地取2,0,2,用表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.2某市公租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任4位申請(qǐng)人中:(1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率;(2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望3.(20xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說明理由參考答案預(yù)習(xí)自測(cè)1【答案】【解析】根據(jù)概率之和為1,求出x,則E()0×2x1×3x5x40x.2【答案】【解析】由題意知P(X0)(1p)2,p.隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.3【答案】A【解析】由,可得y0.4.4 【答案】A【解析】E(X)(1)×0×1×.E(Y)2E(X)32×3.5 【答案】A【解析】XB(n,p),E(X)np1.6,D(X)np(1p)1.28,典型例題【典例1】【解析】(1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)0.3,P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4,P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2,P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)0×0.32×0.46×0.210×0.13;D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.(2)由概率的加法公式,得P(X300)1P(X<300)0.7,又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由條件概率,得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是.【變式1】【解析】(1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率:p1;(2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為,則0,1,2,3.P(0),P(1),P(2),P(3).所以的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×3×.【典例2】【解析】(1)隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.8因?yàn)閄服從二點(diǎn)分布,故E(X)p0.8,D(X)p(1p)0.8×0.20.16.(2)由題意知,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即YB(10,0.8),E(Y)np10×0.88,D(Y)np(1p)10×0.8×0.21.6.探究提高若XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p)【變式2】【解析】(1)由E()np3,D()np(1p),得1p,從而n6,p.的分布列為0123456P(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)P(3),得P(A)【典例3】【解析】(1)X1的概率分布列為X11.21.181.17PE(X1)1.2×1.18×1.17×1.18.由題設(shè)得XB(2,p),即X的概率分布列為X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列為X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3×(1p)21.25×2p(1p)0.2×p21.3×(12pp2)2.5×(pp2)0.2×p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)<E(X2),得p20.1p1.3>1.18,整理得(p0.4)(p0.3)<0,解得0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1,所以當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.【變式3】【解析】(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)5×0.810×0.26,D(Y1)(56)2×0.8(106)2×0.24,E(Y2)2×0.28×0.512×0.38,D(Y2)(28)2×0.2(88)2×0.5(128)2×0.312.(2)f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x3×1002)當(dāng)且僅當(dāng)x75時(shí),f(x)3為最小值當(dāng)堂檢測(cè)1 【答案】C【解析】由分布列性質(zhì)知:0.50.1b1,b0.4.E(X)4×0.5a×0.19×0.46.3,a7.2【答案】B【解析】先求出E(X)(1)×0×1×.再由YaX3得E(Y)aE(X)3.a×3.解得a2.3【答案】C【解析】X的所有可能取值為3,2,1,0,其分布列為X3210P0.60.240.0960.064E(X)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.4 【答案】C【解析】由已知條件可得P(X1)p,P(X2)(1p)p,P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2,則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>1.75,解得p>或p<,又由p(0,1),可得p.5 【答案】0.7【解析】E(X)1×0.70×0.30.7.6 【答案】【解析】由題意知取到次品的概率為,XB,D(X)3××.7【答案】2【解析】設(shè)“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為12x,則E()1·x2×(12x)3xx24x3x2. A組全員必做題1 【答案】C【解析】分析已知條件,利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計(jì)算公式得:解得或又x1<x2,x1x23.故選C.2【答案】A【解析】拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),<0,即>0,也就是a,b必須同號(hào),的分布列為012PE()0×1×2×.3 【答案】D【解析】由已知得,3a2b0×c2,即3a2b2,其中0<a<,0<b<1.又32,當(dāng)且僅當(dāng),即a2b時(shí)取“等號(hào)”,又3a2b2,即當(dāng)a,b時(shí),的最小值為,故選D.4【答案】【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐孛颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為,連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),為取得紅球(成功)的次數(shù),則B,從而有E()np4×.5【答案】5.25【解析】由題意可知,X可以取3,4,5,6,P(X3),P(X4),P(X5),P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)5.25.6解(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P,則A能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事件:MN,MP,NP,MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP)××××××××.答A能夠入選的概率為.(2)P(沒有入選任何人)4,P(入選了一人)C3,P(入選了兩人)C22,P(入選了三人)C3,P(入選了四人)C4,記表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi),該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列為03 0006 0009 00012 000PE()3 000×6 000×9 000×12 000×8 000(元)所以,該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為8 000元B組提高選做題1【答案】【解析】當(dāng)l的斜率k為±2時(shí),直線l的方程為±2xy10,此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離d;當(dāng)k為±時(shí),d;當(dāng)k為±時(shí),d;當(dāng)k為0時(shí),d1,由古典概型的概率公式可得分布列如下:1P所以E()×××1×.2解(1)方法一所有可能的申請(qǐng)方式有34種,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式有C·22種,從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為.方法二設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn),這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A,則P(A).從而,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為P4(2)C22.(2)的所有可能值為1,2,3.又P(1),P(2),P(3).綜上知,的分布列為123P從而有E()1×2×3×.3解(1)當(dāng)日需求量n16時(shí),利潤(rùn)y80.當(dāng)日需求量n<16時(shí),利潤(rùn)y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80,并且P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)60×0.170×0.280×0.776.X的方差為D(X)(6076)2×0.1(7076)2×0.2(8076)2×0.744.法一花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,D(X)<D(Y),即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小另外,雖然E(X)<E(Y),但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花法二花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,E(X)<E(Y),即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花

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本文(新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差學(xué)案 理)為本站會(huì)員(仙***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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