新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差學(xué)案 理

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1、 第六十六課時 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解隨機(jī)變量的均值、方差的意義、作用，能解決一些簡單的實際問題． 2.理解二項分布、超幾何分步的數(shù)學(xué)期望與方差. 基礎(chǔ)知識梳理 1． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn. (1)數(shù)學(xué)期望： 稱E(X)＝ 為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)，它刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的 ． (2)方差： 稱D(X)＝

2、 叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差，即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的 (或說離散程度)， D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． 2． 二點分布與二項分布、超幾何分布的期望、方差 期望 方差 變量X服從二點分布 X～B(n，p) X服從參數(shù)為N，M， n的超幾何分布 預(yù)習(xí)自測 1． 若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2．某畢業(yè)生參加人

3、才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 3． 某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為 (　　) A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 4． 已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X

4、＋3，則E(Y)的值為 (　　) A. B．4 C．－1 D．1 5． 設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則 (　　) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 課堂探究案 典型例題 考點1　離散型隨機(jī)變量的均值、方差 【典例1】(20xx年高考湖北卷)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延

5、誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 【變式1】某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課，每個學(xué)生必須且只需選修1門選修課．對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，回答下面的問題： (1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率； (2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 考點2　二項分布的均值、方差 【典例2】某人投彈命中目標(biāo)的概率p＝0.8. (1)求投彈一次，命中

6、次數(shù)X的均值和方差； (2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差． 【變式2】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝3，標(biāo)準(zhǔn)差為. (1)求n，p的值并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率． 考點3 　均值與方差的應(yīng)用 【典例3】現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，

7、價格下降的概率都是p(0

8、2% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值． 當(dāng)堂檢測 1． 已知某一隨機(jī)變量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為 (　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 2．已知X的分布

9、列為 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3． 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為 (　　) A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4 4． 體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則

10、p的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 5． 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________． 6． 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________. 7．馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)

11、此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 課后拓展案 A組全員必做題 1． 若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1

12、得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為 (　　) A. B. C. D. 4． 罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則ξ的期望E(ξ)＝________. 5． 簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 6．為了某項大型活動能夠安全進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項指標(biāo)進(jìn)行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選．假定某基地

13、有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為，，.這三項測試能否通過相互之間沒有影響． (1)求A能夠入選的概率； (2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi))，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望． B組提高選做題 1． 設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?，－，－，0，，，2，用ξ表示坐標(biāo)原點到l的距離，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________. 2．某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)．設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等

14、可能的，求該市的任4位申請人中： (1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率； (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)ξ的分布列與期望． 3.(20xx年高考新課標(biāo)全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式． (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 1

15、0 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． ①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差． ②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由． 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1．【答案】 【解析】根據(jù)概率之和為1，求出x＝，則E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋…＋5x＝40x＝. 2．【答案】 【解析】由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．【答案】　A 【解析】　由

16、，可得y＝0.4. 4． 【答案】　A 【解析】　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝. 5． 【答案】　A 【解析】　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ 典型例題 【典例1】【解析】　(1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以

17、Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300

18、 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 【變式1】【解析】　(1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率：p1＝＝； (2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ， 則ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 【典例2】【解析】(1)隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因為X服從二點分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(1－p)＝0.8×0.2＝0.16. (2)由題意知，命

19、中次數(shù)Y服從二項分布， 即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6. 探究提高　若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【變式2】【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得 P(A)＝＝ 【典例3】【解析】　(1)X1的概率分布列為 X1 1.2 1.18 1.17

20、 P E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18. 由題設(shè)得X～B(2，p)，即X的概率分布列為 X 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 故X2的概率分布列為 X2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2 ＝－p2－0.1p＋1.3. (2)由E(X1)1.18， 整理得(p＋0.4)(p－0.3)<

21、0，解得－0.4

22、(Y2) ＝[x2＋3(100－x)2] ＝(4x2－600x＋3×1002)． 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝75時，f(x)＝3為最小值． 當(dāng)堂檢測 1． 【答案】C 【解析】由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4. ∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7. 2．【答案】B 【解析】先求出E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.∴＝a×＋3.解得a＝2. 3．【答案】C 【解析】X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為 X 3 2 1 0 P 0.6 0.24 0.096

23、 0.064 ∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 4． 【答案】C 【解析】由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈. 5． 【答案】　0.7 【解析】　E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 6． 【答案】 【解析】由題意知取到次品的概率為，∴X～B，∴D(X)＝3××＝. 7．【答

24、案】2 【解析】設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. A組全員必做題 1． 【答案】C 【解析】分析已知條件，利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計算公式得： 解得或又∵x10，也就是a，b必須同號， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 3． 【答案】D 【解析】由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0

25、

26、包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP. ∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)＝××＋××＋××＋××＝＝. 答　A能夠入選的概率為. (2)P(沒有入選任何人)＝4＝，P(入選了一人)＝C3＝， P(入選了兩人)＝C22＝，P(入選了三人)＝C3＝， P(入選了四人)＝C4＝， 記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列為 ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000 P E(ξ)＝3 000×＋6 000×＋9 000×＋12 000×＝8 000(元) 所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)

27、的數(shù)學(xué)期望為8 000元． B組提高選做題 1．【答案】 【解析】當(dāng)l的斜率k為±2時，直線l的方程為±2x－y＋1＝0，此時坐標(biāo)原點到l的距離d＝；當(dāng)k為±時，d＝；當(dāng)k為±時，d＝；當(dāng)k為0時，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： ξ 1 P 所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 2．解　(1)方法一　所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C·22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為＝. 方法二　設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗． 記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A)＝. 從而，由

28、獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 P4(2)＝C22＝. (2)ξ的所有可能值為1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝ ， P(ξ＝3)＝＝. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 從而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 3解　(1)當(dāng)日需求量n≥16時，利潤y＝80.當(dāng)日需求量n<16時，利潤y＝10n－80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝(n∈N)． (2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列為 X

29、60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差為D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②法一　花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差為D(Y)＝(55－76.4)2×

30、0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)