2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-2 圓的一般方程.doc

2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-2 圓的一般方程項目內(nèi)容課題4.1.2 圓的一般方程（1課時）修改與創(chuàng)新教學目標1.在掌握圓的標準方程的基礎上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.掌握方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件,通過對方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,提高學生的整體素質(zhì),激勵學生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.教學重、難點教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標準方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用教學準備多媒體課件教學過程導入新課說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程.學生練習:將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式.能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.推進新課新知探究提出問題前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.把式子(xa)2(yb)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點?討論結(jié)果：以前學習過直線,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學習一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、)展開整理而得到的.我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學習了圓的標準方程,把標準形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.(xa)2(yb)2=r2中,r0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r0時不表示任何圖形.因此式子(x+)2+(y+)2=.()當D2+E2-4F0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；()當D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);()當D2+E2-4F0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形. 綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當D2+E2-4F0時,它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F0. 我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程. 圓的一般方程形式上的特點: x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項. 圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了. 與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯.應用示例例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標為(,-),半徑為；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.點評:對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓練 求下列圓的半徑和圓心坐標：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x4)2(y+3)2=52,所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5；(2)x2+y2+2by=0配方,得x2(y+b)2=b2,所以圓心坐標為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標.解:方法一：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點E(,),M1M2的中點F(,),再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-), 聯(lián)立得得則點P的坐標為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.方法三：設所求圓的圓心坐標為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設所求圓的方程為(xa)2(yb)2=r2,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即解此方程組得所以所求圓的方程為(x4)2(y+3)2=52,圓心坐標為(4,-3),半徑為5.點評：請同學們比較,關(guān)于何時設圓的標準方程,何時設圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關(guān)系,往往設圓的一般方程.例3 已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.圖1解法一:如圖1,作MNOQ交x軸于N,則N為OP的中點,即N(5,0).因為|MN|=|OQ|=2(定長).所以所求點M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點評:用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.解法二:設M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).因為M是PQ的中點,所以 (*)又因為Q(x0,y0)在圓x2+y2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點評:相關(guān)點法步驟:設被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).求出點M與點Q坐標間的關(guān)系 ()從()中解出 ()將()代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點法,以后要注意運用.變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.解:設點M的坐標是(x,y),點A的坐標是(x0,y0).由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3. 因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.把代入,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.所以點M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長為1的圓.知能訓練課本練習1、2、3.拓展提升問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PRQR,求實數(shù)m的值.解:設P(x1, y1)、Q(x2,y2),由消去y得5x2+4m-60=0. 由題意,方程有兩個不等的實數(shù)根,所以60-4m0,m15.由韋達定理因為PRQR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. 因為y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,y1+y2=6,代入得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.所以m=10,適合m15.所以實數(shù)m的值為10.課堂小結(jié)1.任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F0時,方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓.2.求圓的方程,應根據(jù)條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標準方程；若條件主要是圓所經(jīng)過的點的坐標,則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法.作業(yè)習題4.1 A組1、6,B組1、2、3.板書設計4.1.2 圓的一般方程圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 例1D2+E2-4F0 變式 例2 例3 變式教學反思這是一節(jié)介紹新知識的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程.因此,在設計這節(jié)課時,力求“過程、結(jié)論并重；知識、能力、思想方法并重”.在展現(xiàn)知識的形成過程中,盡量避免學生被動接受,引導學生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進行回顧、類比,學生從中領(lǐng)會探求方法；另一方面,“把標準方程展開認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法.同時,通過類比進行條件的探求“D2+E24F”與“”(判別式)類比.在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”,并用它探求新知識.這樣的過程,既是學生獲得新知識的過程,更是培養(yǎng)學生能力的過程.