新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【考綱下載】 1．理解等比數(shù)列的概念． 2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式． 3．能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．[來源:] 4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 1．等比數(shù)列的相關(guān)概念 (1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列． (2)公比：指定義中的“同一常數(shù)”，通常用字母q(q≠0)表示． (3)定義的符號(hào)表示：＝q(q是常數(shù)且q≠0，n∈N*)，或＝q(n≥2，n∈N*，q為常數(shù)且q≠0

2、)． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式[來源:] 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，q≠0，則它的通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1. (2)通項(xiàng)公式的推廣 an＝am·qn－m. 3．等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a和b的等比中項(xiàng)，那么＝，即G2＝ab. 4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 5．等比數(shù)列的性質(zhì) (1)對(duì)任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq. 特別地，若m＋n＝2p，

3、則am·an＝a. (2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)． (3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列． (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. 1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件嗎？ 提示：不是．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)b＝0，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列；

4、若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2＝ac.[來源:] 2．若a≠0，則數(shù)列a，a2，a3，…，an，…的前n項(xiàng)和為Sn＝嗎？ 提示：不一定．當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝na1＝n；當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝. 1．(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 解析：選A　由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項(xiàng)為－3，－6，－12.故第四項(xiàng)為－24. 2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5

5、＝，則公比q等于(　　) A．－ B．－2 C．2 D. 解析：選D　∵a2＝2，a5＝，∴＝＝＝q3，∴q＝. 3．在等比數(shù)列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8a9a10a11＝(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 解析：選B　∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.[來源:] 4．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n＋a，則a＝________. 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4＋a，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝

6、(4n＋a)－(4n－1＋a)＝4n－4n－1＝3×4n－1. 又∵該數(shù)列為等比數(shù)列，∴4＋a＝3×40，即a＝－1. 答案：－1 5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________. 解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8. ∴q3＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝＝－11. 答案：－11 數(shù)學(xué)思想(八) 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類討論有： (1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n＝1，n≥2兩種情況． (2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q＝1，q≠1討論． (3)項(xiàng)數(shù)的奇

7、、偶數(shù)討論． (4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論． [典例]　(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明Sn＋≤(n∈N*)．[來源:] [解題指導(dǎo)]　(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式； (2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明． [解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. 又a1＝，所

8、以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·. (2)證明：Sn＝1－n， Sn＋＝1－n＋ ＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S1＋＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S2＋＝. 故對(duì)于n∈N*，有Sn＋≤. [題后悟道]　1.數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解，同時(shí)注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別． 2．本題易忽視對(duì)n的分類討論，導(dǎo)致問題無法證明或證明過程錯(cuò)誤． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a≠0)，則{an}(　　) A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列 C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列 解析：選C　∵Sn＝an－1(a≠0)， ∴an＝ 即an＝ 當(dāng)a＝1時(shí)，an＝0，數(shù)列{an}是一個(gè)常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當(dāng)a≠1時(shí)，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列．