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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼
第3講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期為2 π的奇函數(shù)
B．最小正周期為2 π的偶函數(shù)
C．最小正周期為π的奇函數(shù)
D．最小正周期為π的偶函數(shù)
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．
答案 C
2．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的值為
( )．
A．0 B. C. D.
解析 據(jù)已知可得f(x)＝2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，
2、又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意．
答案 B
3．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 ( )．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2－.
答案 A
4．函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期為( )．
A．2π B. C．π D.
解析 依題意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小
3、正周期為2π.
答案 A
5．函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域?yàn)? )．
A．[－1,1] B.
C. D.
解析 (數(shù)形結(jié)合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，畫出函數(shù)圖像如圖所示，從圖像可以看出，當(dāng)t＝－及t＝1時(shí)，函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案 C
6．已知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則φ＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由題意可知函數(shù)f(x)的周期
4、T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，將x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.
答案 A
二、填空題
7．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝sin x，則f的值為________．
解析 f＝f＝f＝sin ＝.
答案
8．函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.
解析 (構(gòu)造法)根據(jù)分子和分母同次的特點(diǎn)，把分子展開，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1為奇函數(shù)，則m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.
答案 2
5、9．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是________．
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
畫出函數(shù)f(x)的圖象，可得函數(shù)的最小值為－1，最大值為，故值域?yàn)?
答案
10．下列命題中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要條件；
②函數(shù)f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，則△ABC為鈍角三角形；
④若a＋b＝0，則函數(shù)y＝asin x－bcos x的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x＝.
6、其中是真命題的序號(hào)為________．
解析 ①∵α＝2kπ＋(k∈Z)?tan α＝，
而tan α＝?/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正確．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|
＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②錯(cuò)誤．
③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0，
即cos(A＋B)>0，∵0
7、．
答案 ①③④
三、解答題
11. 已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及值域；
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，
則函數(shù)f(x)的最小正周期是π，
函數(shù)f(x)的值域是.
(2)依題意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
則kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．
12．已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域．
解 (1)f(x)
8、＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1.
即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?
13．已知函數(shù)f(x)＝coscos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(
9、x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝coscos
＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期為＝π.
(2)由(1)知
h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，
當(dāng)2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)時(shí)，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的集合為
.
14．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當(dāng)x∈時(shí)，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴
10、sin∈，又∵a >0，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中當(dāng)2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z.
綜上，g(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)；遞減區(qū)間為(k∈Z)．
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