2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題13 利用導數(shù)證明數(shù)列不等式.doc

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專題 13 利用導數(shù)證明數(shù)列不等式 熱點聚焦與擴展 利用導數(shù)證明數(shù)列不等式 在高考題中能較好的考查學生靈活運用知識的能力 一方面以函數(shù)為背景讓學 生探尋函數(shù)的性質(zhì) 另一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù) 進而利用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為 為有具體特征的數(shù)列 可謂一題多考 巧妙地將函數(shù) 導數(shù) 數(shù)列 不等式結(jié)合在一起 也是近年來高考 的熱門題型 1 常見類型 1 利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題 2 利用遞推公式處理通項公式中的不等問題 2 恒成立不等式的 1 函數(shù)的最值 在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式 2 恒成立問題的求解 此類題目往往會在前幾問中進行鋪墊 暗示數(shù)列放縮的方向 其中 有關恒成立 問題的求解 參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式 3 常見恒成立不等式 1 對數(shù) 多項式 2 指數(shù) 多項式 4 關于前項和的放縮問題 求數(shù)列前項公式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決 高中階段求和的方法有 以下幾種 1 倒序相加 通項公式具備第項與第項的和為常數(shù)的特點 2 錯位相減 通項公式為 等差等比 的形式 例如 求和可用錯位相減 3 等比數(shù)列求和公式 4 裂項相消 通項公式可裂為兩項作差的形式 且裂開的某項能夠與后面項裂開的某項進行相消 注 在放縮法處理數(shù)列求和不等式時 放縮為等比數(shù)列和能夠裂項相消的數(shù)列的情況比較多見 故優(yōu)先考 慮 5 大體思路 對于數(shù)列求和不等式 要謹記 求和看通項 從通項公式入手 結(jié)合不等號方向考慮放縮 成可求和的通項公式 6 在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示 尤其是關于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式 往 往提供了放縮數(shù)列的方向 7 放縮通項公式有可能會進行多次 要注意放縮的方向 朝著可求和的通項公式進行靠攏 等比數(shù)列 裂項相消等 8 數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學歸納法進行證明 有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系 經(jīng)典例題 例 1 2018 屆浙江省紹興市高三 3 月模擬 已知數(shù)列滿足 其中為自然對數(shù)的底數(shù) 證明 設 是否存在實數(shù) 使得對任意成立 若存在 求出的一個值 若不存在 請說明理由 答案 1 見解析 2 不存在滿足條件的實數(shù) 解析 試題分析 1 第 問 先證明一個不等式 再利用該不等式證明 2 第 問 先利 用數(shù)學歸納法證明 再利用該不等式證明不存在實數(shù) M 先用數(shù)學歸納法證明 當時 假設當時 不等式成立 那么當時 也成立 故對都有 所以 取 名師點睛 本題難點在于思路的找尋 本題難度較大 第 問 先證明一個不等式 第 問 先利用數(shù)學歸納法證明 之所以要證明這兩個不等式 當然是對試題整體分析的結(jié)果 例 2 2017 浙江 22 已知數(shù)列 x n 滿足 x 1 1 x n xn 1 ln 1 xn 1 證明 當時 0 x n 1 x n 2x n 1 xn x n 答案 見解析 見解析 見解析 解析 由得 211114 2 ln nnnnxxxx 名師點睛 本題主要考查數(shù)列的概念 遞推關系與單調(diào)性等基礎知識 不等式及其應用 同時考查推理 論證能力 分析問題和解決問題的能力 屬于難題 本題主要應用 1 數(shù)學歸納法證明不等式 2 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 3 由遞推關系證明 例 3 已知函數(shù)在處取得極值 1 求實數(shù)的值 2 證明 對于任意的正整數(shù) 不等式都成立 答案 1 1 2 見解析 解析 1 為的極值點 2 思路一 聯(lián)想所證不等式與題目所給函數(shù)的聯(lián)系 會發(fā)現(xiàn)在中 存在對數(shù) 且左邊數(shù)列的通項公式 也具備項的特征 所以考慮分析與的大小關系 然后與數(shù)列進行聯(lián)系 解 下面求的單調(diào)區(qū)間 令 即 每一個函數(shù)的最值都會為我們提供一個恒成立的不等式 不用 名師點睛 1 此不等式實質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關系 通過對應項的大小關系決定求和式子 的大小 此題在比較項的大小時關鍵是利用一個恰當?shù)暮瘮?shù)的最值 而這個函數(shù)往往由題目所給 另外有兩 點注意 關注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式 注意不等號的方向應該與所證不等式同向 2 解決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個對數(shù) 其實也是在作和 只是作和時對數(shù)合并成一 項 與對數(shù)運算法則和真數(shù)的特點相關 所以今后遇到類似問題可猜想對數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過程化簡來的 這往往就是思路的突破點 思路二 發(fā)現(xiàn)不等式兩邊均有含的表達式 且一側(cè)作和 所以考慮利用數(shù)學歸納法給予證明 解 用數(shù)學歸納法證明 只需證 2 211ln 1 lnlnlkk kk 下同思路一 分析的最值可得 令 由恒成立不等式可得 即所證不等式成立 均有 名師點睛 利用數(shù)學歸納法證明要注意兩點 1 格式的書寫 2 要利用所假設的條件 例 4 已知函數(shù) 1 當時 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 當時 函數(shù)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi) 求實數(shù)的取值范圍 3 求證 124821135ne 其中是自然對數(shù)的底數(shù) 答案 1 增區(qū)間 減區(qū)間 2 見解析 解析 1 常規(guī)解法 求出單調(diào)區(qū)間找最值 2 2121xxfx 令求出單調(diào)區(qū)間如下 增 減 2 解 函數(shù)圖像上的點都在區(qū)域內(nèi) 此時發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉的情況 但可估計函數(shù)值的趨勢 恒為正 而早晚會隨著值的變大而為 正數(shù) 所以必然不符合題意 在書寫時可構(gòu)造反例來說明 此題只需即可 所以選擇 時 即 在單調(diào)遞減 符合題意 綜上所述 3 思路 觀察所證不等式 124821135ne 左邊連乘 右邊是 可以想到利用兩邊取對數(shù) 化積為和 同時利用第二問的結(jié)論 第二問給我們提供了恒成立的不 等式 時 取 即 則可與左邊的求和找到聯(lián)系 解 所證不等式等價于 1242ln1ln1ln135n 由 2 可得 令 即 不等式得證 名師點睛 1 第二問中代數(shù)方法與數(shù)形結(jié)合方法的抉擇 體會為什么放棄線性規(guī)劃思路 以及如何 將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴} 2 對數(shù)運算的特點 化積為和 題目中沒有關于乘積式的不等關系 于是決定變?yōu)楹褪?3 利用上一問的結(jié)論放縮通項公式 將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛?進而解決問題 例 5 2017 北京 理 19 已知函數(shù) 1 若在定義域內(nèi)為減函數(shù) 求的范圍 2 若滿足 試證明 時 答案 1 1 2 見解析 解析 解 1 為減函數(shù) 2 思路 由 1 可得為減函數(shù) 進而即 所求是有關的不等關系 有的指數(shù)冪 所以可能與自然對 數(shù)相關 考慮數(shù)列的單調(diào)性 已知條件是遞推數(shù)列 可嘗試利用遞推公式尋找不等關系求解 解 單調(diào)遞增 時 即 112 2 212 2 214441nnn n naa a 利用進行 放縮 消掉多余的 由 聯(lián)想到是可裂項的 再由的特點決定兩邊同取對數(shù) 32111ln32nan 181 3124242nn 得證 名師點睛 1 對付較復雜的題目 首先要把準備工作做好 在第三問中你可做的準備工作有這些 如果你計算了 也許就知道左邊的的來源進而決定進行數(shù)列單調(diào)性分析 如果你觀察了遞推公式 便可發(fā)現(xiàn)有可處理的地方 如果你觀察了所證不等式的右邊 便會由的指數(shù)冪聯(lián)想到對數(shù)不等式 如果利用第一問出個可用的不等式結(jié)論 也許你就發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與根式的不等關系 這些準備工作不會直接得到答案 但是起碼會給你提供一些方法和可選擇的道路 2 第三問依然用到了數(shù)列求和 有關消項的求和通常有兩種 一種是相鄰的項做差 累加法 另外一 種就是相鄰的項做商 此時利用對數(shù)即可將 累乘消項 轉(zhuǎn)變?yōu)?累加消項 例 6 2018 屆二輪專練 已知函數(shù) f x elnx g x f x x 1 e 2 718 1 求函數(shù) g x 的極大值 2 求證 1 ln n 1 n N 答案 1 2 2 見解析 令 g x 0 解得 0 x 1 令 g x 1 函數(shù) g x 在 0 1 上單調(diào)遞增 在 1 上單調(diào)遞減 g x 極大值 g 1 2 2 證明 由 1 知 x 1 是函數(shù) g x 的極大值點 也是最大值點 g x g 1 2 即 lnx x 1 2 lnx x 1 當且僅當 x 1 時等號成立 令 t x 1 得 t ln t 1 t 1 取 t n N 時 則 ln ln 1 ln2 ln ln ln 疊加得 1 ln 2 ln n 1 即 1 ln n 1 例 7 2018 屆二輪訓練 已知函數(shù) f x xlnx 和 g x m x 2 1 m R 1 m 1 時 求方程 f x g x 的實根 2 若對任意的 x 1 函數(shù) y g x 的圖象總在函數(shù) y f x 圖象的上方 求 m 的取值范圍 3 求證 ln 2n 1 n N 答案 1 見解析 2 3 見解析 意 3 由 2 知 當時 時 成立 結(jié)合題型 構(gòu)造不妨令 得出 24ln1l 1kkN 利用累加可得結(jié)論 試題解析 1 時 即 而 所以方程即為 令 則 而 故方程有唯一的實根 2 對于任意的 函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方 即 即 設 即 則 若 則 這與題設矛盾 方程有兩個正實根且 當時 單調(diào)遞增 與題設矛盾 綜上所述 實數(shù)的取值范圍是 3 證明 由 2 知 當時 時 成立 不妨令 22114ln kkkN 即 24ln21l 1kkN 2 34 5 121lnnlnl 累加可得 2244l1nN 名師點睛 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 利用導數(shù)證明不等式 分類討論思想及方程的根 與系數(shù)的關系 屬于難題 分類討論思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法 是中學數(shù)學四種重要的數(shù) 學思想之一 尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效 大大提高了解題能力與速度 運用這種方法的關鍵 是將題設條件研究透 這樣才能快速找準突破點 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰 進而 順利解答 希望同學們能夠熟練掌握并應用與解題當中 例 8 2018 屆四省名校 南寧二中等 高三上第一次大聯(lián)考 已知函數(shù) 1 若 求的單調(diào)區(qū)間 2 若關于的不等式對一切恒成立 求實數(shù)的取值范圍 3 求證 對 都有 答案 1 單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 2 3 證明見解析 當時 對一切不恒成立 當時 對一切不恒成立 綜上可得實數(shù)的取值范圍是 3 結(jié)合 2 的結(jié)論 取 有時 則 結(jié)合對數(shù)的運算法則即可證得題中的不等式 當時 故在區(qū)間上遞增 所以 從而在區(qū)間上遞增 所以對一切恒成立 當時 當時 當時 所以時 而 故 所以當時 遞減 由 知 此時對一切不恒成立 當時 在區(qū)間上遞減 有 從而在區(qū)間上遞減 有 所以 名師點睛 導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 最有效的工具 而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點 所以在歷屆高考中 對導數(shù)的應用的考查都非常突出 本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考 來看 對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行 1 考查導數(shù)的幾何意義 往往與解析幾何 微積 分相聯(lián)系 2 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 判斷單調(diào)性 已知單調(diào)性 求參數(shù) 3 利用導數(shù)求函數(shù)的 最值 極值 解決生活中的優(yōu)化問題 4 考查數(shù)形結(jié)合思想的應用 例 9 2018 屆東北四市一模 已知函數(shù) 1 若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線 求的值 2 當時 恒成立 求整數(shù)的最大值 3 證明 答案 1 2 3 證明見解析 解析 試題分析 1 由題意得到關于實數(shù) a b 的方程組 求解方程組可得 2 結(jié)合 1 的結(jié)論 利用且當放縮可得整數(shù)的最大值是 2 3 結(jié)合 2 的結(jié)論有 利用對數(shù)的性質(zhì)裂項放縮即可證得題中的不等式 試題解析 即 同理可證 由題意 當時 且 即 即時 成立 當時 即不恒成立 因此整數(shù)的最大值為 2 3 由 令 即 即 由此可知 當時 當時 當時 當時 綜上 點睛 導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 最有效的工具 而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點 所以在 歷屆高考中 對導數(shù)的應用的考查都非常突出 本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看 對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行 1 考查導數(shù)的幾何意義 往往與解析幾何 微積分相聯(lián) 系 2 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 判斷單調(diào)性 已知單調(diào)性 求參數(shù) 3 利用導數(shù)求函數(shù)的最值 極值 解決生活中的優(yōu)化問題 4 考查數(shù)形結(jié)合思想的應用 例 10 2018 屆貴州省遵義市遵義四中高三第三次月考 已知函數(shù) 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 若不等式區(qū)間上恒成立 求實數(shù)的取值范圍 3 求證 答案 1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 單調(diào)遞減區(qū)間為 2 3 見解析 令 得 令 得 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 單調(diào)遞減區(qū)間為 2 令 又 令解得 當在內(nèi)變化時 變化如下表 0 由表知 當時函數(shù)有最大值 且最大值為 所以 3 由 2 知 4422lnln113en 221 113 3nn 4422lnln113ene 即 方法點晴 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 證明不等式以及不等式恒成立問題 屬于難 題 不等式恒成立問題常見方法 分離參數(shù)恒成立 可 或恒成立 即可 數(shù)形結(jié)合 圖象在 上方 即可 討論最值或恒成立 討論參數(shù) 本題 2 是利用方法 求得的最大值 精選精練 1 設函數(shù) 其中 1 當時 討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性 2 證明 對任意的正整數(shù) 不等式都成立 答案 1 增區(qū)間 減區(qū)間 2 見解析 的單調(diào)區(qū)間為 增 減 增 時 恒成立 在單調(diào)遞增 2 考慮時 則 即 2 已知函數(shù) 3 ln1 0 fxxgxa 1 求的最大值 2 證明不等式 答案 1 0 2 見解析 解析 1 令 單調(diào)區(qū)間如下 增 減 2 思路 左邊可看做數(shù)列求和 其通項公式為 無法直接求和 所以考慮利用條件進行放縮 右邊是 分式 可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果 所以將放縮為等比數(shù)列模型 由 1 可得 令進行嘗試 不等式得證 名師點睛 此題的第 3 問將數(shù)列通項公式放縮為等比數(shù)列求和 如果不等式的一側(cè)是一個分數(shù) 則 可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮 猜想公比與首項 3 已知等差數(shù)列的公差不為零 等比數(shù)列的前 3 項滿足 求數(shù)列與的通項公式 設 是否存在最大整數(shù) 使對任意的 均有總成立 若存在 求出的值 若不存在 請說明理由 答案 解析 試題分析 由已知可設公差為的 d 依題意可得 聯(lián)立解得 從而可求數(shù)列與的通項公式 依題意可得 假設存在整數(shù) m 使 成立 即 記 則 從而求出 即有存在最大的整數(shù) m 12 使 0 2 1463 1 nnff 試題解析 由已知可設公差為 則有 聯(lián)立解得 數(shù)列代入得 1 3 1 8 1 nnanc 故存在最大的整數(shù) 使恒成立 4 在數(shù)列中 已知 11 14 23log4nnnabaN 1 求數(shù)列的通項公式 2 求證 數(shù)列是等差數(shù)列 3 設數(shù)列滿足 且的前項和 若對恒成立 求實數(shù)取值范圍 答案 1 2 詳見解析 3 解析 試題分析 1 由于 可得數(shù)列是首項為 公比為的等比數(shù)列 即可求出數(shù)列的通項公式 2 由 1 可得 即可證明數(shù)列是首項 公差的等差數(shù)列 3 由 1 知 當 n 為偶數(shù)時 即對 n 取114321 nnn bbbS 2 公差 數(shù)列是首項 公差的等差數(shù)列 7 分 未證明扣 1 分 3 由 1 知 當 n 為偶數(shù)時 114321 nnn bbbS 1534312 nb 26 642bn 即對 n 取任意正偶數(shù)都成立 所以 11 分 當 n 為奇數(shù)時 13 2 1 3 2114321 nnbbbSnnn 對時恒成立 綜上 15 分 5 已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù) 其前項和為 為等比數(shù)列 且 1 求與 2 若對任意正整數(shù)和任意恒成立 求實數(shù)的取值范圍 答案 1 2 解析 試題解析 1 設的公差為 且的公比為 132 1 2763nnadbqSbq 7 分 2 12113245 2 nSSn 345 10 分 問題等價于的最小值大于或等于 即 即 解得 14 分 6 已知為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 且 是首項為 2 公差為的等差數(shù)列 其前項和為 1 求數(shù)列的通項公式 2 當且僅當 成立 求的取值范圍 答案 1 2 的取值范圍為 解析 試題解析 1 因為為等比數(shù)列 所以 所以 所以 為方程 的兩根 又因為為遞增的等比數(shù)列 所以 從而 所以 2 由題意可知 30 5 42 1 dff 所以 的取值范圍為 7 2017 年 12 月浙江省重點中學期末熱身 已知數(shù)列滿足 求 證明 是否存在正實數(shù) 使得對任意的 都有 并說明理由 答案 1 2 證明見解析 3 存在 解析 試題分析 1 依題意可得 再根據(jù) 即可求出的值 2 易證 則 即可得證 構(gòu)造 證明 出 是遞增數(shù)列 即可得證 3 由 2 得 1ln2lnln21 12an neea 再結(jié)合 即可求出的值 試題解析 1 由已知 2 是遞增數(shù)列 即 綜上 3 由 2 得 1ln2lnln21 12an neea 12 11 2121122 2nnn n nnnna 當時 222563636n nn 由的單調(diào)性知 當時 綜上 對任意的 都有 所以存在 c 的取值不唯一 若 c 取其它值相應給分 點睛 本題考慮數(shù)列的不等式的證明和數(shù)列與函數(shù)的關系 恒成立問題的求解等問題 具體涉及到數(shù)列與 不等式的綜合運用 其中放縮法的應用和構(gòu)造法的應用是解題的關鍵 8 已知數(shù)列 滿足 且 1 求及 2 猜想 的通項公式 并證明你的結(jié)論 3 證明 對所有的 3211 1 2sinnnabab b 答案 1 2 見解析 3 見解析 解析 試題分析 1 依次把 n 1 2 3 代入遞推式即可求出 a n b n 的前 4 項 2 利用數(shù)學歸納法證明猜想 3 利用放縮法證明不等式左邊 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式右邊 用數(shù)學歸納法證明 當時 由上可得結(jié)論成立 假設當時 結(jié)論成立 即 那么當時 212112kkabkk 所以當時 結(jié)論也成立 由 可知 對一切正整數(shù)都成立 3 由 2 知 于是所證明的不等式即為 135211 2sin46n 先證明 3221n 因為 所以 從而 即 所以 13513521 24627nn 再證明 設函數(shù) 則 所以 綜上所述 對所有的 均有 3211 1 2sinnnabab b 成立 9 已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為 且恰為等比數(shù)列的前三項 記 分別求數(shù)列 的通項公式 若 求取得最小值時的值 當為數(shù)列的最小項時 有相應的可取值 我們把所有的和記為 當為數(shù)列的最小項時 有相應的可取 值 我們把所有的和記為 令 求 答案 0 解析 試題分析 易得 若 則 當或 取得最小值 0 令 則 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 當取得最小值時 在拋物線對稱軸的左 右側(cè)都有可能 但都在對 稱軸的右側(cè) 必有 而取得最小值 等價于 由解得 同理 當取得最小值時 只需 解得 可得 10 已知函數(shù) 求方程的實數(shù)解 如果數(shù)列滿足 是否存在實數(shù) 使得對所有的都成立 證明你的結(jié)論 在 的條件下 設數(shù)列的前項的和為 證明 答案 存在使得 見解析 解析 由題意 通過解分式方程即可得方程的實數(shù)解析 通過函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列通 證法 1 因為 當時 單調(diào)遞減 所以 因為 所以由得且 下面用數(shù)學歸納法證明 因為 所以當時結(jié)論成立 假設當時結(jié)論成立 即 由于為上的減函數(shù) 所以 從而 是以為首項 為公比的等比數(shù)列 所以 易知 所以當為奇數(shù)時 當為偶數(shù)時 即存在 使得 證明 由 2 我們有 從而 設 則由得 由于 因此 n 1 2 3 時 成立 左邊不等式均成立 當 n 3 時 有 因此 從而 即 點睛 此題主要考查了函數(shù)零點 單調(diào)性 數(shù)列單調(diào)性 求和與不等式關系 以及數(shù)學歸納法 分式方程 的解等有關知識 屬于高檔題型 也是高頻考點 在 的證明中 首先利用函數(shù)單調(diào)性 確定函數(shù)值 的范圍 由此得出數(shù)列通項的取值范圍 從而找到常數(shù) 再用數(shù)列歸納法進行證明 在 的證明中 根據(jù)題意構(gòu)造新數(shù)列 再通過討論其前項和的取值范圍 從而問題得證 11 在數(shù)列中 為的前項和 且 1 比較與大小 2 令 數(shù)列的前項和為 求證 答案 1 2 且由 1 知 是關于的二次函數(shù) 當時取到最大值 但 2211299nnnaaTb 解析 試題分析 1 根據(jù)及可得到等式 并令 即可得出等式 進而可得的大小關系 2 由 1 知不 等式 即 進而可得不等式 再結(jié)合已 知是關于的二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的圖像可得出其最大值為 進而由數(shù)列的前項和可得所證結(jié)論即可 但 2211299nnnaaTb 12 2018 屆高三數(shù)學訓練題 設函數(shù) f x e x ax 1 1 當 a 0 時 設函數(shù) f x 的最小值為 g a 求證 g a 0 2 求證 對任意的正整數(shù) n 都有 1n 1 2 n 1 3 n 1 n n 1 0 的情況下討論函數(shù)的單調(diào)性 求出函數(shù)的小值 g a a alna 1 再對 這個函數(shù)求導 研究這個函數(shù)的最大值 g 1 0 故 g a 0 2 結(jié)合第一問得到 x 0 時 總有 ex x 1 兩邊變形得到 x 1 n 1 0 及 f x e x a 可得 函數(shù) f x 在 lna 上單調(diào)遞減 在 lna 上單調(diào)遞增 故函數(shù) f x 的最小值為 g a f lna e lna alna 1 a alna 1 則 g a lna 故當 a 0 1 時 g a 0 令 x 1 即 x 可得 n 1 e n 令 x 1 即 x 可得 n 1 e n 1 令 x 1 即 x 可得 n 1 e n 2 令 x 1 即 x 可得 n 1 e 1 對以上各式求和可得 n 1 n 1 n 1 n 1 e n e n 1 e n 2 e 1 1 故對任意的正整數(shù) n 都有 1n 1 2 n 1 3 n 1 n n 1 n 1 n 1 點睛 這個題目考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 證明不等式的恒成立問題 在證明不等式的恒成立 是 對于含有類似于這個題目中的 n 的題目 要注意利用第一問的結(jié)論 對第一問求得的參數(shù)值代入函數(shù) 表達式 再注意對函數(shù)進行變形再賦值 從而得到要證的不等式形式