新版文科數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)：第二章 第八節(jié)　函數(shù)與方程及應(yīng)用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．(20xx·烏魯木齊模擬)函數(shù)f(x)＝ex＋2x－3的零點所在的一個區(qū)間是(　　) A．(－，0)　　　　　　　 B．(0，) C．(，1) D．(1，) 解析：因為f()＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零點在區(qū)間(，1)上． 答案：C 2．函數(shù)f(x)＝2x6－x4－1的零點個數(shù)是(　　) A．4 B．2 C

3、．1 D．0 解析：函數(shù)f(x)＝2x6－x4－1的零點個數(shù)，就是方程2x6－x4－1＝0的實根的個數(shù)，變形為2x6＝x4＋1，顯然x＝0不是方程的根；當(dāng)x≠0時，等價于2x2＝1＋，令g(x)＝2x2，h(x)＝1＋，作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合知函數(shù)g(x)和h(x)的圖像有2個交點，即函數(shù)f(x)有2個零點． 答案：B 3．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為(　　) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3} 解析：當(dāng)x

4、≥0時，f(x)＝x2－3x， 令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0， 得x1＝3，x2＝1. 當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)， ∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x. 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0， 得x3＝－2－， x4＝－2＋＞0(舍)， ∴函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合是{－2－，1,3}，故選D. 答案：D 4．(20xx·云南省檢測)已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零點為c，d，則下列不等式正確的是(　　) A．a(chǎn)＞c＞b＞d B．a(chǎn)＞b＞c

5、＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d 解析：f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d為函數(shù)f(x)的零點，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖像，如圖所示，由圖可知c＞a＞b＞d，故選D. 答案：D 5．(20xx·德州模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝2|x|－1，則函數(shù)F(x)＝f(x)－|lg x|的零點個數(shù)是(　　) A．9 B．10 C．11 D．18 解析：由F(x)＝0得f(x)＝|lg

6、x|分別作f(x)與y＝|lg x|的圖像，如圖， 所以有10個零點，故選B. 答案：B 6．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1,0) 解析：當(dāng)x＞0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝，所以只需要當(dāng)x≤0時，ex＋a＝0有一個根即可，即ex＝－a.當(dāng)x≤0時，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故選D. 答案：D 7．(20xx·長沙市模擬)對于滿足0＜b≤3a的任意實數(shù)a，b，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c總有兩個不同的零點

7、，則的取值范圍是(　　) A．(1，] B．(1,2] C．[1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：依題意對方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac＞0，于是c＜，從而＞＝1＋－()2，對滿足0＜b≤3a的任意實數(shù)a，b恒成立．令t＝，因為0＜b≤3a，所以0＜t≤3.因此－t2＋t＋1∈(1,2]，故＞2.選D. 答案：D 8．已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1,3) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) 解析：畫出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示， 觀察圖像可知，若方程f(x)－a＝0有三個

8、不同的實數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖像與直線y＝a有3個不同的交點，此時需滿足0＜a＜1，故選D. 答案：D 9．(20xx·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三個零點，則a的取值范圍為(　　) A．[3,5] B．[4,6] C．(3,5) D．(4,6) 解析：∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示： ∵g(x)＝f(x)－l

9、ogax在(0，＋∞)上有三個零點， ∴y＝f(x)和y＝logax的圖像在(0，＋∞)上有三個交點， 作出函數(shù)y＝logax的圖像，如圖， ∴，解得3＜a＜5.故選C. 答案：C 10．(20xx·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ只有一個根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個根，則Δ＝1－8(1＋λ)

10、＝0，解得λ＝－.故選C. 答案：C 11．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)－1≤x＜0時，f(x)＝－log(－x)，則方程f(x)－＝0在(0,6)內(nèi)的所有根之和為(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 解析：∵奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函數(shù)，其周期T＝4.又當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝－log(－x)，故f(x)在(0,6)上的函數(shù)圖像如圖所示． 由圖可知方程f(x)－＝0在(0,6)內(nèi)的根共有4個，其和為x1＋x2＋x

11、3＋x4＝2＋10＝12，故選C. 答案：C 12．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：易知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|為偶函數(shù)，故只需求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的圖像與直線y＝k有唯一交點時k的取值范圍．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝ex＋x，此時f′(x)＝ex＋1＞0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x＞0時，f(x)＝ex＋x＞f(0)＝1，所以要使函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的圖像與直線y＝k有唯一交點，只需k＞1，故所求實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)． 答案

12、：(1，＋∞) 13．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖像，如圖所示： 由圖可知k∈(0,1]． 答案：(0,1] 14．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是________． 解析：當(dāng)x＞0時，令ln x－x2＋2x＝0， 得ln x＝x2－2x， 作y＝ln x和y＝x2－2x圖像， 顯然有兩個交點． 當(dāng)x≤0時，令4x＋1＝0， ∴x＝－. 綜上共有3個零點． 答案：3 15．已知函數(shù)f(x)＝|x－a|－＋a，a∈R，若方程f(x)＝1有且只有三個不同的

13、實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：令g(x)＝|x－a|＋a，h(x)＝＋1，作出函數(shù)h(x)＝＋1的圖像，易知直線y＝x與函數(shù)h(x)＝＋1的圖像的兩交點坐標(biāo)為(－1，－1)和(2,2)，又函數(shù)g(x)＝|x－a|＋a的圖像是由函數(shù)y＝|x|的圖像的頂點在直線y＝x上移動得到的，且當(dāng)函數(shù)h(x)＝＋1的圖像和g(x)＝|x－a|＋a的圖像相切時，切點為(，1＋)，(－，1－)，切線方程為y＝－x＋2＋1或y＝－x－2＋1，又兩切線與y＝x的交點分別為(，)，(，)，故a＝，結(jié)合圖像可知a的取值范圍是(－∞，)∪(，2)． 答案：(－∞，)∪(，2) B組——能力提升

14、練 1．已知符號函數(shù)sgn(x)＝設(shè)函數(shù)f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)，其中f1(x)＝x2＋1，f2(x)＝－2x＋4.若關(guān)于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恒好有6個根，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，) B．(－∞，] C．[2，] D．(2，) 解析：①若x＞1，則f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝－2x＋4.②若x＝1，則f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝＝2.③若x＜1，則f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝x2＋1. 綜上，f(x)＝作出其圖像如圖所示．若要使方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恒好有6個根，令t＝f(x)，則關(guān)

15、于t的方程t2－3t＋m＝0需有兩個不相等的實數(shù)根，故Δ＝9－4m＞0，得m＜.數(shù)形結(jié)合知1＜f(x)＜2，所以函數(shù)g(t)＝t2－3t＋m在(1,2)上有兩個不同的零點，又函數(shù)g(t)圖像的對稱軸為t＝∈(1,2)，所以需即得2＜m＜，故選D. 答案：D 2．(20xx·湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有兩個極值點x1，x2，若x1＜f(x1)＜x2，則關(guān)于x方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的實數(shù)根的個數(shù)不可能為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由題意，得f′(x)＝－x2＋2ax＋b.因為x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，

16、所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的兩個實數(shù)根，所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由題意，知函數(shù)f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增，又x1＜f(x1)＜x2，依題意作出簡圖，如圖所示，結(jié)合圖形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的實根個數(shù)不可能為5，故選D. 答案：D 3．(20xx·合肥市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝.方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6個不同的實數(shù)解，則3a＋b的取值范圍是(　　) A．[6,11] B．[3,11] C．(6,11) D．

17、(3,11) 解析：首先作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖)，對于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的個數(shù)就是f(x)＝t1與f(x)＝t2的根的個數(shù)之和，結(jié)合圖像可知，要使總共有6個根，需要一個方程有4個根，另一個方程有2個根，從而可知關(guān)于t的方程t2－at＋b＝0有2個根，分別位于區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)，進(jìn)一步由根的分布得出約束條件，畫出可行域(圖略)，計算出目標(biāo)函數(shù)z＝3a＋b的取值范圍為(3,11)． 答案：D 4．(20xx·洛陽統(tǒng)考)已知x1，x2是函數(shù)f(x)＝e－x－|ln x|的兩個零點，則(　　) A.＜x1x2＜1 B．1＜

18、x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10 解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝e－x與y＝|ln x|的圖像(圖略)，結(jié)合圖像不難看出，在x1，x2中，其中一個屬于區(qū)間(0,1)，另一個屬于區(qū)間(1，＋∞)．不妨設(shè)x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，則有e－x1＝|ln x1|＝－ln x1∈(e－1,1)，e－x2＝|ln x2|＝ln x2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝ln x2＋ln x1＝ln(x1x2)∈(－1,0)，于是有e－1＜x1x2＜e0，即＜x1x2＜1，故選A. 答案：A 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－

19、3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 解析：∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 則f(x)在R上為增函數(shù)， 且f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 又f(a)＝0，∴0＜a＜1. ∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 當(dāng)x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0， 得g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0， g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0， ∴

20、1＜b＜2，即a＜b， ∴故選A. 答案：A 6．對于函數(shù)f(x)和g(x)，設(shè)α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[2,4] B. C. D．[2,3] 解析：函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2的零點為x＝1，設(shè)g(x)＝x2－ax－a＋3的零點為b，若函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數(shù)”，則|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于

21、g(x)＝x2－ax－a＋3的圖像過點(－1,4)，∴要使其零點在區(qū)間[0,2]上，則g≤0，即2－a·－a＋3≤0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，易知g(0)≥0，即a≤3，此時2≤a≤3，滿足題意． 答案：D 7．設(shè)x0為函數(shù)f(x)＝sin πx的零點，且滿足|x0|＋f＜33，則這樣的零點有(　　) A．61個 B．63個 C．65個 D．67個 解析：依題意，由f(x0)＝sin πx0＝0得，πx0＝kπ，k∈Z，即x0＝k，k∈Z.當(dāng)k是奇數(shù)時，f＝sin π＝sin＝－1，|x0|＋f＝|k|－1＜33，|k|＜34，滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個；當(dāng)k是偶數(shù)時，

22、f＝sin π＝sin＝1，|x0|＋f＝|k|＋1＜33，|k|＜32，滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個．綜上所述，滿足題意的零點共有34＋31＝65(個)，選C. 答案：C 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝，設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m≥或m＝－1 B．m≥ C．m≥或m＝－1 D．m≥ 解析：f(x)＝ 作函數(shù)y＝f(x)的圖像，如圖所示． 函數(shù)g(x)零點的個數(shù)?函數(shù)y＝f(x)的圖像與直線y＝4mx＋m交點的個數(shù)． 當(dāng)直線y＝4mx＋m過點(1,1)時，m＝； 當(dāng)直線

23、y＝4mx＋m與曲線y＝－1(－1＜x＜0)相切時，可求得m＝－1. 根據(jù)圖像可知，當(dāng)m≥或m＝－1時，函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1,1)上有且僅有一個零點． 答案：C 9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：當(dāng)x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減．因此，當(dāng)x>0時，f(x)max＝f(1)＝l

24、n 1－1＋1＝0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的大致圖像，如圖，觀察到函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖像有兩個交點，所以函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個零點．故選C. 答案：C 10．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(0,1) C. D. 解析：依題意，關(guān)于x的方程ax－1＝有兩個不等的正根．記g(x)＝，則g′(x)＝，當(dāng)00，g(x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時， g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(e，＋∞)

25、上單調(diào)遞減，且g(e)＝，當(dāng)0

26、 B．(－∞，－1] C．(0,1] D．[1，＋∞) 解析：∵f(x)＝x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，∴f(0)＝f′(1)e－1，f′(x)＝x－f(0)＋f′(1)ex－1， ∴f′(1)＝1－f′(1)e－1＋f′(1)e1－1，∴f′(1)＝e，∴f(0)＝f′(1)e－1＝1，∴f(x)＝x2－x＋ex，∴g(x)＝f(x)－x2＋x＝x2－x＋ex－x2＋x＝ex，∵g－x＝0， ∴g＝x＝g(ln x)，∴－x＝ln x，∴＝x＋ln x．當(dāng)a>0時，只有y＝(x>0)和y＝x＋ln x的圖像相切時，滿足題意，作出圖像如圖所示，由圖像可知，a＝1，當(dāng)a<0時，

27、顯然滿足題意，∴a＝1或a<0，故選A. 答案：A 12．已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f(x)＝，若關(guān)于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且僅有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,1)∪ B．[0,1]∪ C．(0,1]∪ D.∪{0} 解析：作出f(x)＝的大致圖像如圖所示，又函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且關(guān)于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a∈R)有且僅有6個不同的實數(shù)根，等價于f(x)＝和f (x)＝a(a∈R)有且僅有6個不同的實數(shù)根．由圖可知方程f(x)

28、＝有4個不同的實數(shù)根，所以必須且只需方程f(x)＝a(a∈R)有且僅有2個不同的實數(shù)根，由圖可知0

29、－4≤x≤6的交點的橫坐標(biāo)的和，因為兩個函數(shù)圖像均關(guān)于x＝1對稱，所以x＝1兩側(cè)的交點對稱，那么兩對應(yīng)交點的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖像(圖略)，易知x＝1兩側(cè)分別有5個交點，所以所求和為5×2＝10. 答案：10 15．已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)g(x)＝2|x|f(x)－2的零點個數(shù)為________． 解析：由g (x)＝2|x|f(x)－2＝0得，f(x)＝|x|－1，作出y＝f(x)，y＝|x|－1的圖像，由圖像可知共有2個交點，故函數(shù)的零點個數(shù)為2. 答案：2 16．已知函數(shù)f(x)＝，若方程f(x)＝ax＋1恰有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：如圖，當(dāng)直線y＝ax＋1過點B(2,2)時，a＝，滿足方程有兩個解；當(dāng)直線y＝ax＋1與f(x)＝2(x≥2)的圖像相切時，a＝，滿足方程有兩個解；當(dāng)直線y＝ax＋1過點A(1,2)時，a＝1，滿足方程恰有一個解．故實數(shù)a的取值范圍為∪. 答案：∪