新編新課標高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 第6節(jié) 空間直角坐標系、空間向量及其運算課時訓(xùn)練 理

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1、 【導(dǎo)與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 第6節(jié) 空間直角坐標系、空間向量及其運算課時訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 【選題明細表】 知識點、方法 題號 空間直角坐標系 3、4 空間向量的計算 1、2、5、7、10、13、15 共線、共面向量定理的應(yīng)用 6、8 綜合問題 11、12、14 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx青島一模)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(　C　) (A)a∥c,b∥c (B)a∥b,a⊥c (C)a∥c,a⊥b (D)以上都不對

2、 解析:∵c=2a, ∴a∥c, 又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0, ∴a⊥b. 故選C. 2.(20xx銀川質(zhì)檢)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是(　A　) (A)2,12 (B)-13,12 (C)-3,2 (D)2,2 解析:由題意知,λ+16=22λ,2μ-1=0, 解得λ=2,μ=12或λ=-3,μ=12. 3.(20xx山東濰坊月考)如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點,cos=33,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,

3、z軸建立空間直角坐標系,則點E的坐標為(　A　) (A)(1,1,1) (B)(1,1,12) (C)(1,1,32) (D)(1,1,2) 解析:設(shè)P(0,0,z), 依題意知A(2,0,0),B(2,2,0), 則E(1,1,z2), 于是DP→=(0,0,z),AE→=(-1,1,z2), cos=DP→·AE→|DP→||AE→|=z22|z|·z24+2=33. 解得z=±2, 由題圖知z=2,故E(1,1,1). 4.(20xx福州質(zhì)檢)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且AM→=12MC1→,N為B1B的中點,則|M

4、N→|為(　A　) (A)216a (B)66a (C)156a (D)153a 解析:以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz, 則A(a,0,0),C1(0,a,a), N(a,a,a2). 設(shè)M(x,y,z). ∵點M在AC1上且AM→=12MC1→, ∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z) ∴x=23a,y=a3,z=a3. ∴M(2a3,a3,a3), ∴|MN→|=(a-23a)?2+(a-a3)?2+(a2-a3)?2 =216a. 故選A. 5.(20xx北京東城一摸)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°, PA=

5、AB=BC=6,則|PC→|等于(　C　) (A)62 (B)6 (C)12 (D)144 解析:因為PC→=PA→+AB→+BC→, 所以PC→2=PA→2+AB→2+BC→2+2AB→·BC→ =36+36+36+2×36cos 60° =144. 所以|PC→|=12. 6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,則實數(shù)λ等于(　D　) (A)627 (B)637 (C)647 (D)657 解析:由題意存在實數(shù)x,y使得c=xa+yb, 即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2), 由此得

6、方程組7=2x-y,5=-x+4y,λ=3x-2y. 解得x=337,y=177, 所以λ=997-347=657. 二、填空題 7.(20xx廣東一模)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a與b的夾角的余弦值為89,則λ=　　　　.? 解析:由已知得89=a·b|a||b|=2-λ+45+λ2·9, ∴85+λ2=3(6-λ), 解得λ=-2或λ=255. 答案:-2或255 8.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點P(x,-1,3)在平面ABC內(nèi),則x=　　　　.? 解析:根據(jù)共面向量定理設(shè)AP→=λAB→+μAC→, 即(x-4

7、,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8), 由此得x-4=-2λ-μ,-2=2λ+6μ,0=-2λ-8μ.解得λ=-4,μ=1, 所以x=4+8-1=11. 答案:11 9.(20xx河南新鄉(xiāng)一模)在空間直角坐標系中,以點A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實數(shù)x的值為　　　　.? 解析:AB→=(6,-2,-3), AC→=(x-4,3,-6), 由題意知AB→·AC→=0, |AB→|=|AC→|,6(x-4)-6+18=0. 可解得x=2. 答案:2 三、解答題 10.已知各個面

8、都是平行四邊形的四棱柱ABCDA′B′C′D′.設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC′B′的對角線BC′上的點,且BN∶ NC′=3∶1,設(shè)MN→=αAB→+βAD→+γAA'→,試求α,β,γ之值. 解:MN→=MB→+BN→ =12DB→+34BC'→ =12(DA→+AB→)+ 34(BC→+CC'→) =12(-AD→+AB→)+34(AD→+AA'→) =12AB→+14AD→+34AA'→, 所以α=12,β=14,γ=34. 11.直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分別為AB、BB′的中點. (1)求證:CE

9、⊥A′D; (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. 解:令CA→=a,CB→=b,CC'→=c, 根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|, 且a·b=b·c=c·a=0, (1)∵CE→=b+12c,A'D→=-c+12b-12a. ∴CE→·A'D→=-12c2+12b2=0. ∴CE→⊥A'D→, 即CE⊥A′D. (2)∵AC'→=-a+c,|AC'→|=2|a|,|CE→|=52|a|. AC'→·CE→=(-a+c)·(b+12c)=12c2=12|a|2, ∴cos=12|a|22×52|a|2=1010. 即異面直線CE與AC′所成角的

10、余弦值為1010. 能力提升 12.(20xx高考北京卷)在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別為三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則(　D　) (A)S1=S2=S3 (B)S2=S1且S2≠S3 (C)S3=S1且S3≠S2 (D)S3=S2且S3≠S1 解析:根據(jù)題目條件,在空間直角坐標系Oxyz中作出該三棱錐DABC,顯然S1=12×2×2=2,S2=S3=12×2×2=2.故選D. 13.(20xx遼寧沈陽模擬)在一直角坐標系中已知A(-

11、1,6),B(3,-8),現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角,則折疊后A、B兩點間的距離為　　　　.? 解析:如圖為折疊后的圖形, 其中作AC⊥CD,BD⊥CD, 則AC=6,BD=8,CD=4, 兩異面直線AC、BD所成的角為60°, 故由AB→=AC→+CD→+DB→, 得|AB→|2=|AC→+CD→+DB→|2=68, ∴|AB→|=217. 答案:217 14.已知如圖所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60°. (1)求證:C1C⊥BD; (2)當(dāng)CDCC1的值是多少時,能使A1C⊥平

12、面C1BD?請給出證明. (1)證明:取CD→=a,CB→=b,CC1→=c, 由已知|a|=|b|, 且===60°, BD→=CD→-CB→=a-b, CC1→·BD→=c·(a-b)=c·a-c·b =12|c||a|-12|c||b|=0, ∴C1C→⊥BD→,即C1C⊥BD. (2)解:若A1C⊥平面C1BD, 則A1C⊥C1D,又CA1→=a+b+c,C1D→=a-c. ∴CA1→·C1D→=0,即(a+b+c)·(a-c)=0. 整理得3a2-|a||c|-2c2=0. (3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0,∴|a|-|c|=0, 即|a|=|c|. 即當(dāng)CDCC1=|a||c|=1時,A1C⊥平面C1BD. 探究創(chuàng)新 15.(20xx高考廣東卷)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(　B　) (A)(-1,1,0) (B)(1,-1,0) (C)(0,-1,1) (D)(-1,0,1) 解析:設(shè)b=(1,-1,0), 則cos=a·b|a||b|=12×2=12, 即b與a的夾角為60°.故選B.