全國初中數學競賽輔導-第十六講《質數與合數》教案1-北師大版

精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第十六講 質數與合數我們知道，每一個自然數都有正因數(因數又稱約數)例如，1有一個正因數；2，3，5都有兩個正因數，即1和其本身；4有三個正因數：1，2，4；12有六個正因數：1，2，3，4，6，12由此可見，自然數的正因數，有的多，有的少除了1以外，每個自然數都至少有兩個正因數我們把只有1和其本身兩個正因數的自然數稱為質數(又稱素數)，把正因數多于兩個的自然數稱為合數這樣，就把全體自然數分成三類：1，質數和合數2是最小的質數，也是唯一的一個既是偶數又是質數的數也就是說，除了2以外，質數都是奇數，小于100的質數有如下25個：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97質數具有許多重要的性質：性質1 一個大于1的正整數n，它的大于1的最小因數一定是質數性質2 如果n是合數，那么n的最小質因數a一定滿足a2n性質3 質數有無窮多個(這個性質將在例6中證明)性質4(算術基本定理)每一個大于1的自然數n，必能寫成以下形式：這里的P1，P2，Pr是質數，a1，a2，ar是自然數如果不考慮p1，P2，Pr的次序，那么這種形式是唯一的關于質數和合數的問題很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一哥德巴赫猜想是：每一個大于2的偶數都能寫成兩個質數的和這是至今還沒有解決的難題，我國數學家陳景潤在這個問題上做了到目前為止最好的結果，他證明了任何大于2的偶數都是兩個質數的和或一個質數與一個合數的和，而這個合數是兩個質數的積(這就是通常所說的1+2)下面我們舉些例子例1 設p，q，r都是質數，并且p+q=r，pq求p解 由于r=p+q，所以r不是最小的質數，從而r是奇數，所以p，q為一奇一偶因為pq，故p既是質數又是偶數，于是p=2例2 設p(5)是質數，并且2p+1也是質數求證：4p+1是合數證 由于p是大于3的質數，故p不會是3k的形式，從而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整數若p=3k+1，則2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合數，與題設矛盾所以p=3k+2，這時4p+1=4(3k+2)+1=3(4k3)是合數例3 設n是大于1的正整數，求證：n4+4是合數證 我們只需把n4+4寫成兩個大于1的整數的乘積即可n4+4=n4+4n2+4-4n2(n2+2)2-4n2(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因為n2+2n2n2-2n+2=(n-1)2+11，所以n4+4是合數例4 是否存在連續(xù)88個自然數都是合數？解 我們用n！表示1×2×3××n.令a=1×2×3××89=89！，那么，如下連續(xù)88個自然數都是合數：a+2，a+3，a+4，a+89這是因為對某個2k89，有a+k=k×(2××(k-1)×(k+1)××89+1)是兩個大于1的自然數的乘積說明 由本例可知，對于任意自然數n，存在連續(xù)的n個合數，這也說明相鄰的兩個素數的差可以任意的大用(a，b)表示自然數a，b的最大公約數，如果(a，b)=1，那么a，b稱為互質(互素)例5 證明：當n2時，n與n！之間一定有一個質數證 首先，相鄰的兩個自然數是互質的這是因為(a，a-1)=(a，1)1，于是有(n！，n！-1)=1由于不超過n的自然數都是n！的約數，所以不超過n的自然數都與n！-1互質(否則，n！與n！-1不互質)，于是n！-1的質約數p一定大于n，即npn！-1n！所以，在n與n！之間一定有一個素數例6 證明素數有無窮多個證 下面是歐幾里得的證法假設只有有限多個質數，設為p1，p2，pn.考慮p1p2pn+1，由假設，p1p2pn+1是合數，它一定有一個質約數p顯然，p不同于p1，p2，pn，這與假設的p1，p2，pn為全部質數矛盾例7 證明：每一個大于11的自然數都是兩個合數的和證 設n是大于11的自然數(1)若n=3k(k4)，則n3k=6+3(k-2)；(2)若n=3k+1(k4)，則n=3k+1=4+3(k-1)；(3)若n=3k+2(k4)，則n=8+3(k-2)因此，不論在哪種情況下，n都可以表為兩個合數的和例8 求不能用三個不同合數的和表示的最大奇數解 三個最小的合數是4，6，8，它們的和是18，于是17是不能用三個不同的合數的和表示的奇數下面證明大于等于19的奇數n都能用三個不同的合數的和來表示由于當k3時，4，9，2k是三個不同的合數，并且4+9+2k19，所以只要適當選擇k，就可以使大于等于19的奇數n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和來表示 綜上所述，不能表示為三個不同的合數的和的最大奇數是17練習十六1求出所有的質數p，使p+10，p+14都是質數2若p是質數，并且8p2+1也是質數，求證：8p2-p+2也是質數3當m1時，證明：n4+4m4是合數4不能寫成兩個合數之和的最大的自然數是幾？5設p和q都是大于3的質數，求證：24p2-q26設x和y是正整數，xy，p是奇質數，并且求x+y的值專心-專注-專業(yè)