全國初中數(shù)學競賽輔導-第十六講《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》教案1-北師大版

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十六講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)我們知道,每一個自然數(shù)都有正因數(shù)(因數(shù)又稱約數(shù))例如,1有一個正因數(shù);2,3,5都有兩個正因數(shù),即1和其本身;4有三個正因數(shù):1,2,4;12有六個正因數(shù):1,2,3,4,6,12由此可見,自然數(shù)的正因數(shù),有的多,有的少除了1以外,每個自然數(shù)都至少有兩個正因數(shù)我們把只有1和其本身兩個正因數(shù)的自然數(shù)稱為質(zhì)數(shù)(又稱素數(shù)),把正因數(shù)多于兩個的自然數(shù)稱為合數(shù)這樣,就把全體自然數(shù)分成三類:1,質(zhì)數(shù)和合數(shù)2是最小的質(zhì)數(shù),也是唯一的一個既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)也就是說,除了2以外,質(zhì)數(shù)都是奇數(shù),小于100的質(zhì)數(shù)有如下25個:2,3,5,7,11,13,17,19,2

2、3,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97質(zhì)數(shù)具有許多重要的性質(zhì):性質(zhì)1 一個大于1的正整數(shù)n,它的大于1的最小因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)性質(zhì)2 如果n是合數(shù),那么n的最小質(zhì)因數(shù)a一定滿足a2n性質(zhì)3 質(zhì)數(shù)有無窮多個(這個性質(zhì)將在例6中證明)性質(zhì)4(算術(shù)基本定理)每一個大于1的自然數(shù)n,必能寫成以下形式:這里的P1,P2,Pr是質(zhì)數(shù),a1,a2,ar是自然數(shù)如果不考慮p1,P2,Pr的次序,那么這種形式是唯一的關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的問題很多,著名的哥德巴赫猜想就是其中之一哥德巴赫猜想是:每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)的和這是至今還沒有解決的難題,我國數(shù)

3、學家陳景潤在這個問題上做了到目前為止最好的結(jié)果,他證明了任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和或一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和,而這個合數(shù)是兩個質(zhì)數(shù)的積(這就是通常所說的1+2)下面我們舉些例子例1 設p,q,r都是質(zhì)數(shù),并且p+q=r,pq求p解 由于r=p+q,所以r不是最小的質(zhì)數(shù),從而r是奇數(shù),所以p,q為一奇一偶因為pq,故p既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù),于是p=2例2 設p(5)是質(zhì)數(shù),并且2p+1也是質(zhì)數(shù)求證:4p+1是合數(shù)證 由于p是大于3的質(zhì)數(shù),故p不會是3k的形式,從而p必定是3k+1或3k+2的形式,k是正整數(shù)若p=3k+1,則2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合數(shù),與題設矛盾所以p=3

4、k+2,這時4p+1=4(3k+2)+1=3(4k3)是合數(shù)例3 設n是大于1的正整數(shù),求證:n4+4是合數(shù)證 我們只需把n4+4寫成兩個大于1的整數(shù)的乘積即可n4+4=n4+4n2+4-4n2(n2+2)2-4n2(n2-2n+2)(n2+2n+2),因為n2+2n2n2-2n+2=(n-1)2+11,所以n4+4是合數(shù)例4 是否存在連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù)?解 我們用n!表示123n.令a=12389=89!,那么,如下連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù):a+2,a+3,a+4,a+89這是因為對某個2k89,有a+k=k(2(k-1)(k+1)89+1)是兩個大于1的自然數(shù)的乘積說明 由本例可知,

5、對于任意自然數(shù)n,存在連續(xù)的n個合數(shù),這也說明相鄰的兩個素數(shù)的差可以任意的大用(a,b)表示自然數(shù)a,b的最大公約數(shù),如果(a,b)=1,那么a,b稱為互質(zhì)(互素)例5 證明:當n2時,n與n!之間一定有一個質(zhì)數(shù)證 首先,相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)的這是因為(a,a-1)=(a,1)1,于是有(n!,n!-1)=1由于不超過n的自然數(shù)都是n!的約數(shù),所以不超過n的自然數(shù)都與n!-1互質(zhì)(否則,n!與n!-1不互質(zhì)),于是n!-1的質(zhì)約數(shù)p一定大于n,即npn!-1n!所以,在n與n!之間一定有一個素數(shù)例6 證明素數(shù)有無窮多個證 下面是歐幾里得的證法假設只有有限多個質(zhì)數(shù),設為p1,p2,pn.考慮p

6、1p2pn+1,由假設,p1p2pn+1是合數(shù),它一定有一個質(zhì)約數(shù)p顯然,p不同于p1,p2,pn,這與假設的p1,p2,pn為全部質(zhì)數(shù)矛盾例7 證明:每一個大于11的自然數(shù)都是兩個合數(shù)的和證 設n是大于11的自然數(shù)(1)若n=3k(k4),則n3k=6+3(k-2);(2)若n=3k+1(k4),則n=3k+1=4+3(k-1);(3)若n=3k+2(k4),則n=8+3(k-2)因此,不論在哪種情況下,n都可以表為兩個合數(shù)的和例8 求不能用三個不同合數(shù)的和表示的最大奇數(shù)解 三個最小的合數(shù)是4,6,8,它們的和是18,于是17是不能用三個不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù)下面證明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個不同的合數(shù)的和來表示由于當k3時,4,9,2k是三個不同的合數(shù),并且4+9+2k19,所以只要適當選擇k,就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4,9,2k(k=n-13/2)的和來表示 綜上所述,不能表示為三個不同的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17練習十六1求出所有的質(zhì)數(shù)p,使p+10,p+14都是質(zhì)數(shù)2若p是質(zhì)數(shù),并且8p2+1也是質(zhì)數(shù),求證:8p2-p+2也是質(zhì)數(shù)3當m1時,證明:n4+4m4是合數(shù)4不能寫成兩個合數(shù)之和的最大的自然數(shù)是幾?5設p和q都是大于3的質(zhì)數(shù),求證:24p2-q26設x和y是正整數(shù),xy,p是奇質(zhì)數(shù),并且求x+y的值專心-專注-專業(yè)

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