新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例學(xué)案 理
《新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例學(xué)案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例學(xué)案 理(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第六十三課時 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖,并利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶). 3.了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. 4.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用. 基礎(chǔ)知識梳理 1.相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)散點圖直觀反映了兩變量的成對觀測值之間存在的某種關(guān)系,利用散點圖可以初步判斷兩個變量之間是否線性相關(guān).如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線的附近,我們說變量x和y具有 相關(guān)關(guān)系
2、. (2)相關(guān)系數(shù)r=, 當(dāng)r>0時,兩變量 相關(guān),當(dāng)r<0時,兩變量 相關(guān),當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于1,相關(guān)程度 ,當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于0,相關(guān)程度 . 2.最小二乘法求回歸直線方程 (1)設(shè)線性回歸方程為=x+, (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點 ,據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計算問題. 3.獨立性檢驗 (1)獨立性檢驗的有關(guān)概念 ①分類變量 可用變量的不同“值”表示個體所屬的 的變量稱為分類變量. ②2×2列聯(lián)表 假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},
3、其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為: y1 y2 總計 x1 a b a+b x2 c d c+d 總計 a+c b+d a+b+c+d (2)獨立性檢驗 利用隨機變量K2=(其中n=a+b+c+d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗. 步驟如下: ①計算隨機變量K2的觀測值k,查下表確定臨界值k0: P(K2≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.
4、841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果k≥k0,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0);否則,就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”. 預(yù)習(xí)自測 1.下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是( ). A.正方體的棱長與體積 B.單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時,土地面積與總產(chǎn)量 C.日照時間與水稻的畝產(chǎn)量 D.電壓一定時,電流與電阻 2.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點圖(1);對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點圖(2).由
5、這兩個散點圖可以判斷( ). A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān) B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān) C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān) D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān) 3.(20xx·湖南)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是( ). A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B.回歸直線過樣本點的中心(,) C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D.若該大學(xué)某女生身高為170
6、cm,則可斷定其體重必為58.79 kg 4.為了評價某個電視欄目的改革效果,在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查,經(jīng)過計算K2≈0.99,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,下列說法正確的是( ). A.有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀 B.有99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C.有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D.沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 5.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的線性回歸方程:=0.254x+0.321.由線性回歸方程可知,
7、家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加________萬元. 課堂探究案 典型例題 考點1 線性相關(guān)關(guān)系的判斷 【典例1】下表是某小賣部6天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表. 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù)y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖; (2)你能依據(jù)散點圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎? (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話,請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系. 【變式1】 5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 學(xué)科 A B C D E 數(shù)
8、學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖,并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系. 考點2 線性回歸方程及其應(yīng)用 【典例2】(20xx·福建)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù): 單價x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程=x+,其中=-20,=- ; (2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價
9、應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本) 【變式2】 (20xx·南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù). 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)求線性回歸方程; (2)據(jù)(1)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150 m2時的銷售價格. 考點3 獨立性檢驗的基本思想及應(yīng)用 【典例3】在調(diào)查男女乘客是否暈機的事件中,已知男乘客暈機的為28人,不暈機的也是28人,而女乘客暈機的為28人,不暈機的為56人. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表;
10、 (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機與性別有關(guān)系? (可能用到的公式:K2=,可能用到的數(shù)據(jù):P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥5.024)=0.025) 【變式3】某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查,并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表: 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 合計 (2)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)
11、? 當(dāng)堂檢測 1.(20xx·新課標(biāo)全國)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( ). A.-1 B.0 C. D.1 2.(20xx·長春調(diào)研)已知x,y取值如下表: x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點圖分析可知:y與x線性相關(guān),且=0.95x+a,則a=( ). A.1.30 B.1
12、.45 C.1.65 D.1.80 3.(20xx·陜西)設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論正確的是 ( ). A.直線l過點(,) B.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 D.當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 4.(20xx·山東)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元
13、) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為 ( ). A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元 課后拓展案 A組全員必做題 1.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下: 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 ( ). A.y
14、=x-1 B.y=x+1 C.y=88+x D.y=176 2.(20xx·福州模擬)下列說法: ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差恒不變; ②設(shè)有一個回歸方程=3-5x,變量x增加一個單位時,y平均增加5個單位; ③線性回歸方程=x+必過(,); ④在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2的觀測值k=13.079,則在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為這兩個變量間有關(guān)系. 其中錯誤的個數(shù)是 ( ). A.0 B.1 C.2 D.3
15、 3.已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表,則變量x與變量y是________相關(guān)(填“正”或“負(fù)”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 4.(20xx·唐山統(tǒng)一考試)考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn):其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為=1.197x-3.660,由此估計,當(dāng)股骨長度為50 cm時,肱骨長度的估計值為________ cm. 5.為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系,現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生,得到如下2×2列聯(lián)表:
16、 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2=≈4.844. 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為________. B組提高選做題 1.某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查.?dāng)?shù)據(jù)如下表: 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù); (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系? 附:
17、P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= 2.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖; (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+; (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生
18、產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? (參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.【答案】C 【解析】A,B,D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的,所以是函數(shù)關(guān)系;C中的兩個變量間是相關(guān)關(guān)系,對于日照時間一定的水稻,仍可以有不同的畝產(chǎn)量,故選C. 2.【答案】C 【解析】由圖(1)可知,各點整體呈遞減趨勢,x與y負(fù)相關(guān);由圖(2)可知,各點整體呈遞增趨勢,u與v正相關(guān). 3.【答案】D 【解析】根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解.由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85,因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,故A正確.又線性回歸方程必過樣本中心點(
19、,),因此B正確.由線性回歸方程中系數(shù)的意義知,x每增加1 cm,其體重約增加0.85 kg,故C正確.當(dāng)某女生的身高為170 cm時,其體重估計值是58.79 kg,而不是具體值,因此D不正確. 4.【答案】D 【解析】只有K2≥6.635才能有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系,而即使K2≥6.635也只是對“電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論,與是否有99%的人等無關(guān).故D正確. 5.【答案】0.254 【解析】由題意,知其回歸系數(shù)為0.254,故家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加0.254萬元. 典型例題 【典例1】【解析】(1)
20、畫出的散點圖如圖. (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系,氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān),圖中的各點大致分布在一條直線的附近,因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系. (3)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn),可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系,如讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等.如圖. 【變式1】【解析】把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標(biāo),把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中描點(xi,yi)(i=1,2,…,5),作出散點圖如圖. 從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系,且當(dāng)數(shù)學(xué)成績增大時,物理成績也在由小變大,即它們正相關(guān). 【典例2】【解析】(1)由于=(8+8.
21、2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, =(90+84+83+80+75+68)=80,又=-20, 所以=- =80+20×8.5=250, 從而回歸直線方程為=-20x+250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元,依題意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 =-202+361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時,L取得最大值. 故當(dāng)單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤. 【變式2】【解析】(1)=×(115+110+80+135+105)=109, =×(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2.
22、 設(shè)所求回歸直線方程為=x+,則 ==≈0.196 2, ∴=- =23.2-109×≈1.816 6. ∴所求回歸直線方程為=0.196 2x+1.816 6. (2)由第(1)問可知,當(dāng)x=150 m2時,銷售價格的估計值為 =0.196 2×150+1.816 6=31.246 6(萬元). 【典例3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下: 暈機 不暈機 合計 男乘客 28 28 56 女乘客 28 56 84 合計 56 84 140 (2)假設(shè)是否暈機與性別無關(guān),則K2的觀測值k==≈3.889,P(K2≥3.841)=0.05. 所以可以
23、在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機與性別有關(guān)系. 【變式3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下: 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為K2==10>6.635, 所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān). 當(dāng)堂檢測 1.【答案】D 【解析】樣本點都在直線上時,其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的,故其相關(guān)系數(shù)為1. 2.【答案】B 【解析】依題意得,=×(0+1+4+5+6+8)=4,=×(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25.又直線=0
24、.95x+a必過樣本中心點(,),即點(4,5.25),于是有5.25=0.95×4+a,由此解得a=1.45,選B. 3.【答案】A 【解析】由樣本的中心(,)落在回歸直線上可知A正確;x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度,不表示直線l的斜率,故B錯;x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在-1到1之間,故C錯;分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均,無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),故D錯. 4.【答案】B 【解析】==3.5(萬元), ==42(萬元), ∴=-=42-9.4×3.5=9.1, ∴回歸方程為=9.4x+9.1, ∴當(dāng)x=6(萬元)時,=9.4×6+9.1=65.5
25、(萬元). A組全員必做題 1.【答案】C 【解析】由題意得==176(cm), ==176(cm),由于(,)一定滿足線性回歸方程,經(jīng)驗證知選C. 2.【答案】B 【解析】只有②錯誤,應(yīng)該是y平均減少5個單位. 3.【答案】正 【解析】因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系,所以畫出散點圖如圖所示: 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān). 4.【答案】56.19 【解析】根據(jù)線性回歸方程=1.197x-3.660,將x=50代入得y=56.19,則肱骨長度的估計值為56.19 cm. 5.【答案】5% 【解析】∵K2≈4.844,這表明小概率事件發(fā)生
26、.根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理,應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立,并且這種判斷出錯的可能性約為5%. B組提高選做題 1.解:(1) 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式K2=得到K2的觀測值k=≈5.059>5.024, 查表知P(K2≥5.024)=0.025,即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系. 2.【解析】(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖所示. (2)由對照數(shù)據(jù),計算得:=86, ==4.5(噸),==3.5(噸). 已知iyi=66.5, 所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為: ===0.7, =-=3.5-0.7×4.5=0.35. 因此,所求的線性回歸方程為=0.7x+0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為: 90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第7課時圖形的位置練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊6整理和復(fù)習(xí)2圖形與幾何第1課時圖形的認(rèn)識與測量1平面圖形的認(rèn)識練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊6整理和復(fù)習(xí)1數(shù)與代數(shù)第10課時比和比例2作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊4比例1比例的意義和基本性質(zhì)第3課時解比例練習(xí)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊3圓柱與圓錐1圓柱第7課時圓柱的體積3作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊3圓柱與圓錐1圓柱第1節(jié)圓柱的認(rèn)識作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊2百分?jǐn)?shù)(二)第1節(jié)折扣和成數(shù)作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊1負(fù)數(shù)第1課時負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識作業(yè)課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考前模擬期末模擬訓(xùn)練二作業(yè)課件蘇教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)上冊期末豐收園作業(yè)課件蘇教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)上冊易錯清單十二課件新人教版
- 標(biāo)準(zhǔn)工時講義
- 2021年一年級語文上冊第六單元知識要點習(xí)題課件新人教版
- 2022春一年級語文下冊課文5識字測評習(xí)題課件新人教版
- 2023年六年級數(shù)學(xué)下冊6整理和復(fù)習(xí)4數(shù)學(xué)思考第1課時數(shù)學(xué)思考1練習(xí)課件新人教版